Sono stato terribilmente lungo
Ciascuna faccia laterale del cubo deve essere "tassellata" usando facce laterali dei tetraedri altrimenti ci sarebbero degli spazi vuoti.
Le facce laterali dei tetraedri sono triangolari.
Le facce laterali del cubo sono quadrate.
Ogni quadrato può essere scomposto in minimo 2 triangoli.
Se un quadrato è scomposto in due triangoli l'area di questi due triangoli è $ \frac{l^2}{2} $ ed essi sono congruenti; infatti l'unica possibilità è quella di prendere 2 lati adiacenti e una diagonale: ci sono 4 lati da usare e i due triangoli devono averne almeno un terzo in comune quindi servono 5 lati (se non hanno un lato in comune riescono a coprire il quadrato), ovvero serve un segmento che divida il quadrato in due triangoli e quindi gli unici 2 che posso usare sono le due diagonali.
Dimostro ora che non è possibile scomporre il cubo in 4 (o meno) tetraedri:
I triangoli che un tetraedro può avere sulle facce laterali del cubo sono massimo 3 infatti se un tetraedro avesse 4 triangoli sulle facce laterali non sarebbe un poliedro in quanto non sarebbe chiuso.
Il numero di triangoli presenti sulle facce laterali del cubo è minimo 2*6=12. Se ogni tetraedro ne avesse 3 (di triangoli sui quadrati laterali) avrei 12/3=4 tetraedri (e quindi meno di 4 non è possibile), se almeno un tetraedro ne avesse meno di tre mi servirebbero più di 4 tetraedri e lo stesso vale se i triangoli usati per tassellare le facce laterali sono più di 12.
Eppure se ogni tetraedro ha 3 triangoli sulle facce laterali del cubo (e se i triangoli usati nella tassellazione delle facce laterali sono 12) allora ha una faccia (su un quadrato laterale) la cui altezza relativa è max l.
Inoltre l'area di quella faccia laterale è massimo $ \frac{l^2}{2} $ quindi il volume del tetraedro risulta massimo: $ \frac{l^3}{6} $ e quattro di essi non bastano per coprire un volume di $ l^3 $ ..
Dimostro ora che si può fare con 5:
Prendo 4 spigoli come segue: 2 opposti per ciascuna faccia laterale..in modo che nessuno dei 4 sia adiacente in qualsiasi faccia laterale.
costruisco ora il tetraedro che ha 3 angoli retti in uno di quei 4 spigoli, inoltre li scelgo in modo che abbia 3 faccie laterali sui quadrati laterali del cubo e che questi triangoli retti abbiano area di $ \frac{l^2}{2} $ e taglino in 2 parti congruenti il quadrato su cui giacciono,
procedo così per tutti e 4 gli spigoli scelti costruendo 4 tetraedri (sarebbe comodo potere fare anche un disegno..).
Questi 4 tetraedri hanno 12 facce lungo le facce laterali del cubo e le coprono quindi completamente.
Le 4 facce rivolte verso l'interno sono triangolari e delimitano quindi una figura mooolto simpatica (4 facce triangolari..) ovvero un tetraedro come si verificherebbe facilmente con un buon disegno.
Il minimo cercato è quindi 5.