OliForum Matematico

Provare che:


$ 2(x^4 + y^4 + 1 ) - ( x + y )^2 - 1 > 0 $ per ogni x,y appartenente ad R.



grazie a: chi mi risponderà.

bye




dimenticavo... non che mi importasse molto il mondo delle disuguaglianze: almeno le piu' facili vorrei capirle...

Ciao e grazie.

dunque...
riscriviamola come $ 2x^4 + 2y^4 +1 > (x+y)^2 $.Ora,poichè $ x^4 + y^4 \geq 2x^2y^2 $,abbiamo $ 2x^4 + 2y^4 + 1 \geq (x^2 + y^2)^2 + 1 $.Inoltre,$ x^2 + y^2 \geq 2xy $,quindi $ 2x^2 + 2y^2 \geq (x + y)^2 $.
Dunque,dobbiamo dimostrare $ (x^2 + y^2)^2 + 1 \geq 2(x^2 + y^2) $,vera in quanto $ (x^2 + y^2 - 1)^2 \geq 0 $.
Infine,il segno uguale vale se e solo se $ x^2 + y^2 = 1 $;in effetti,per $ x = ±\frac{\sqrt 2}{2} $, $ y = ±\frac{\sqrt 2}{2} $ vale l'uguaglianza anche in quella originale...

Riscrivo così:

$ 2x^4 + 2y^4 - x^2 - y^2 -2xy + 1 \geq 0 $

Ora voglio cercare di ottenere una somma di quadrati. Raccolgo anzitutto un po' di termini di quarto e di secondo grado:

$ (x^2 - \frac{1}{2})^2 + (y^2 - \frac{1}{2})^2 + x^4 + y^4 - 2xy + \frac{1}{2} \geq 0 $

Ora raccolgo insieme le due quarte potenze sottraendo ed aggiungendo il termine $ 2x^2y^2 $:

$ (x^2 - \frac{1}{2})^2 + (y^2 - \frac{1}{2})^2 + (x^2 - y^2)^2 + 2x^2y^2 - 2xy + \frac{1}{2} \geq 0 $

Mi rimane l'ultimo termine, e fortunatamente anche lui è un quadrato:

$ (x^2 - \frac{1}{2})^2 + (y^2 - \frac{1}{2})^2 + (x^2 - y^2)^2 + 2(xy - \frac{1}{2})^2 \geq 0 $

A questo punto ho una somma di quadrati, e la disuguaglianza (con il maggiore o uguale) è certamente verificata. Può valere l'uguaglianza? Deve essere $ x^2=y^2=\frac{1}{2} $ e $ xy = \frac{1}{2} $, ed in effetti ciò è vero per $ x = y = \pm\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Ciao,
Salvatore

@spider: se l'ultimo termire rimasto non fosse stato un quadrato come avresti proceduto?

vabbè che credo che sia fatto quasi ..non l'ho inventata io.

Se l'ultimo termine non fosse stato un quadrato, allora mi sarebbe rimasta una somma di quadrati più una certa costamte. Allora se riesco a minimizzare contemporaneamente tutti i quadrati, sicuramente ho il minimo. Se non riesci a minimizzare contemporaneamente tutti i quadrati (es: se minimizzando un quadrato un altro deve avere un valore maggiore del suo minimo), allora non puoi ottenere granché. Per la cronaca questa tecnica (qui ripetutamente applicata) si chiama "completamento del quadrato", ed è lo stesso che si usa per trovare la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado. Non è detto che funzioni sempre, ma la presenza prevalente di quadrati/quarte potenze era invitante...

$ \displaystyle f(x,y)=2(x^4 + y^4 + 1 ) - ( x + y )^2 $
H1.: $ \displaystyle \frac{\partial}{\partial x}f = 8x^3-2x-2y = 0 $
H2.: $ \displaystyle \frac{\partial}{\partial y}f = 8y^3-2x-2y = 0 $

Hai solo pochi casi da analizzare!

1.)$ x=y=0 $
2.)$ x=y=\pm\frac{1}{\sqrt{2}} $

Uhm ... elianto84, guarda che Analisi II non si fa al liceo.

Uhm... è un po' vecchio, ma pazienza

Dobbiamo provare che:

$ 2(x^4+y^4+1) - {(x+y)}^2 -1 \geq 0 $

Svolgiamo le potenze e i prodotti e sommiamo e sottraiamo $ x^2+y^2 $ ottenendo:

$ 2x^4+2y^4 - 2x^2 -2y^2 + x^2+y^2-2xy + 1 \geq 0 $

Adesso scriviamola così:

$ \displaystyle 2x^4+2y^4-2x^2-2y^2 +\frac{1}{2} + \frac{1}{2} +{(x-y)}^2 \geq 0 $

Ora raccogliamo:

$ \displaystyle 2\left(x^4 - x^2 + \frac{1}{4}\right) + 2\left(y^4 - y^2 + \frac{1}{4}\right) + {(x-y)}^2 \geq 0 $

Ma quelli nelle parentesi sono dei quadrati! Dunque otteniamo:

$ \displaystyle 2{\left(x^2 - \frac{1}{2}\right)}^2 + 2{\left(y^2 - \frac{1}{2}\right)}^2 + {(x-y)}^2 \geq 0 $

che è chiaramente vera in quanto somma di quadrati.

Come già detto, l'uguaglianza vale chiaramente quando $ \displaystyle x^2=y^2= \frac{1}{2} $, ossia se $ \displaystyle x=y=\pm \frac{\sqrt 2}{2} $.

Per via della disuaglianza di Cauchy: LHS = $ 2(x^4 + y^4) - (x+y)^2 + 1 $$ \ge (x^2 + y^2)^2 - (x+y)^2 + 1 \ge $ $ \frac{1}{4}(x+y)^4 - (x+y)^2 + 1 = \left[\frac{(x+y)^2}{2} - 1\right]^2 \ge 0 $, dove l'uguaglianza è soddisfatta sse $ x = y $ ed $ (x+y)^2 = 2 $, i.e. $ x = y = \pm 1/\sqrt{2} $.