OliForum Matematico

Ecco una disuguaglianza a mio parere abbastanza istruttiva...

dati $ a, b, c > 0 $ reali, dimostrare che:


$ \frac{a^n}{b+c} + \frac{b^n}{a+c} + \frac{c^n}{a+b} \geq \frac{a^{n-1}+b^{n-1}+c^{n-1}}{2} $

Buon divertimento!

Quando la capirai?? Hai risposto meno di 3 ore dopo l'invio del messaggio di Leblanc...vuoi lasciare ai problemi almeno 2 o 3 giorni ??
Abbiamo capito che tu li sai fare, nonostante la laurea in ingegnera, ora vuoi smetterla in modo da concedere anche a tutti gli altri utenti del forum la possibilità di provare a risolverli?

UP!!!!! C'è anche questa (per ora).

Stranamente Simo pare ignorare il problema, che tra l'altro avevo già postato io tempo fa, vediamo se stavolta riesco a non farmi umiliare in eleganza

Le terne
$ (a^{n-1},b^{n-1},c^{n-1}),\left(\dfrac{a}{b+c},\dfrac{b}{a+c},\dfrac{c}{a+b}\right) $ sono ordinate allo stesso modo, indi, per Chebichev avremo

$ \dfrac{a^n}{b+c}+\dfrac{b^n}{a+c}+\dfrac{c^n}{a+b} $$ \ge \dfrac{a^{n-1}+b^{n-1}+c^{n-1}}{3}\left(\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}\right) $
ma banalmente, per Nesbitt

$ \dfrac{a^{n-1}+b^{n-1}+c^{n-1}}{3}\left(\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}\right) $$ \ge \dfrac{a^{n-1}+b^{n-1}+c^{n-1}}{2} $
il che chiude il cerchio.

Visto che ho snobbato Cauchy per tutto questo tempo ..

Per il Bunching:
$ \displaystyle\sum_{sym}a^{n-1}\ge\sum_{sym}a^{n-2}b $
ovvero:
$ \displaystyle\frac{(\frac{1}{2}\sum_{sym}a^{n-1})^2}{\sum_{sym}a^{n-2}b} $ $ \displaystyle\ge\frac{\sum_{sym}a^{n-1}}{4}=RHS $

Per C.S.:
$ \displaystyle(\sum_{cyc}a^{n-1})^2 $ =$ \displaystyle (\sum_{cyc}\frac{\sqrt{a^n}}{\sqrt{b+c}} $$ \displaystyle \frac{\sqrt{a^n(b+c)}}{a})^2 $ $ \displaystyle \leq LHS (\sum_{cyc}a^{n-2}(b+c)) $

ovvero:
$ \displaystyle LHS\ge $ $ \displaystyle\frac{(\frac{1}{2}\sum_{sym}a^{n-1})^2}{\sum_{sym}a^{n-2}b} $ $ \displaystyle\ge\frac{\sum_{sym}a^{n-1}}{4}=RHS $