OliForum Matematico

Problema: essendo $ p, q \in \mathbb{R} $ ed $ \alpha\in\mathbb{R}^+ $, calcolare il minimo assoluto raggiunto dall'espressione $ \displaystyle\frac{x^p}{\alpha x^qy^q+1}+\frac{y^p}{\alpha y^qz^q+1}+\frac{z^p}{\alpha z^qx^q+1} $, quando $ x,y,z $ sono numeri reali positivi ed $ xyz = 1 $.

Illuminazioni zen: le disuguaglianze sono fondamentali, se si vuol far bene in TdN. Quella che vi propongo è mia. Voglio proprio vedere se anche qui Jack trova il modo di metterci dentro i suoi dannatissimi moltiplicatori...

EDIT: rimosso un cubo, perfezionato il problema!

Raccogliendo l'implicita sfida, proporrei questo approccio.
Dapprima portiamo il problema nella forma

$ \frac{x^p z^q}{\alpha + z^q} + \frac{y^p x^q}{\alpha + x^q} +\frac{z^p y^q}{\alpha + y^q}\geqslant\frac{3}{\alpha+1} $

E successivamente studiamo il problema

M: $ \displaystyle \min x_1^{q/p} y_3+x_2^{q/p} y_1 + x_3^{q/p} y_2 $

sottoposto ai due vincoli

V1: $ \displaystyle x_1x_2x_3=1\qquad \text{moltiplicatore }\lambda $

V2: $ \displaystyle \sum_{i=1}^3 \left( (\alpha + x_i)y_i-x_i \right)^2 =\epsilon \qquad \text{moltiplicatore } \mu $

(non possiamo porre ex abrupto V2=0, pena un vincolo ben poco differenziabile,
ma giocare su un epsilon positivo arbitrariamente piccolo non muta le carte in tavola)
Si verifica immediatamente che gli $ y_i $ sono limitati,
in modo vagamente più faticoso che lo sono pure gli $ x_i $ nel minimo,
alché i moltiplicatori di Lagrange ci dicono che

$ \displaystyle \frac{q}{p} x_i^{q/p} y_{i-1}= \lambda + 2\mu x_i(y_i-1)\left((\alpha+x_i)y_i-x_i\right) $

Facendo tendere epsilon a zero la desiderata magia ha luogo, dato che, per V2, si ha

$ |(\alpha+x_i)y_i-x_i|\leq\sqrt\epsilon $

dunque, posto

$ \displaystyle g(c,d)=\frac{c^p d^q}{\alpha+d^q} $

abbiamo

$ g(x,z)=g(y,x)=g(z,y) $

Dato che $ g(c,d) $ cresce sia al crescere di $ c $ che di $ d $ (tenuta ferma l'altra variabile),
è facile verificare che l'unico ordinamento delle variabili x,y,z
compatibile con l'ultima relazione scritta è

$ x=y=z $

e da qui in poi è tutta discesa.

Nota di folklore: dato che sia la funzione da studiare che il vincolo
sono indifferenti rispetto ad uno shift ciclico delle variabili, il metodo
di Lagrange ci comunica che se il minimo è unico non può che
essere localizzato lungo la "trisettrice" x=y=z, questo anche a meno
di una algebrizzazione di comfort. Per rendere brutalmente
più sintetica la mia dimostrazione basterebbe dunque dimostrare
l'unicità del minimo... qualcuno si cimenta o lasciate che il peso
gravi sulle spalle del sottoscritto?

AMM - http://www.amm.mb.ca/

Maaah... S'io avessi proposto un approccio del genere per la soluzione del problema, dubito fortemente che all'AMM avrebbero accettato di pubblicarlo! Piuttosto m'avrebbero preso a pesci in faccia e riso alle spalle! E in ogni caso... Sei proprio certo di riuscire a concludere, procedendo a quel modo lì? Guarda che finirò per chiederti tutti i dettagli del caso, se mai dovesse essere necessario (e c'è da augurarsi che non lo sia!!!)...

elianto84 ha scritto:[...] studiamo il problema

M: $ \displaystyle \min x_1^{p/q} y_3+x_2^{p/q} y_1 + x_3^{p/q} y_2 $

sottoposto ai due vincoli

V1: $ \displaystyle x_1x_2x_3=1\qquad \text{moltiplicatore }\lambda $

V2: $ \displaystyle \sum_{i=1}^3 \left( (\alpha + x_i)y_i-x_i \right)^2 =\epsilon \qquad \text{moltiplicatore } \mu $

Senti, fermi restando i vincoli che tu hai indicato, a me risulta che l'espressione da minimizzare sia semmai $ x_1^{q/p} y_3+x_2^{q/p} y_1 + x_3^{q/p} y_2 $. Ma d'altro canto, i tuoi interventi lasciano sempre ampio spazio alla fantasia del lettore, come dire...

elianto84 ha scritto:[...] alché i moltiplicatori di Lagrange ci dicono che

$ \displaystyle \frac{q}{p} x_i^{q/p} = \lambda + \mu x_i(y_i-1)\left((\alpha+x_i)y_i-x_i\right) $ [...]

Derivando (ad esempio) vs $ x_1 $ la lagrangiana del problema, si trova che i suoi punti critici soddisfano tutti e soli l'equazione $ \displaystyle\frac{q}{p} x_1^{q/p} y_3 = \lambda + 2\mu x_1 (y_1 - 1)((\alpha + 1)x_1 - y_1) $, che alquanto differisce (se non nella sostanza, di certo nella forma) dall'analoga condizione che tu ci segnalavi. Visto il seguito, ne risulta pertanto dover essere $ x_1^{q/p} y_3 = x_2^{q/p} y_1 = x_3^{q/p} y_2 $. E allora? Vedi un po' di concludere, e in futuro (te lo chiedo come favore personale!) cerca di essere più preciso: già il tuo stile involuto rende difficoltoso il compito al lettore... Se poi dissemini qua e là errori di ogni sorta (anche solo notazionali o che ne so io!), beh... la questione (capiscimi!) si complica parecchio! Bah, vediamo un po' come va a finire, va'...

Già, forse tendo a far le cose troppo di fretta, spesso sopraffatto dall'estetica
di un'intuizione, come in questo caso. D'altronde il mio era dichiaratamente
un approccio, non una soluzione.

Tuttavia, giunto alla quarta modifica del post, sono relativamente sicuro
che il mio discorso possa ora finalmente fregiarsi anche del secondo titolo.

Smentiscimi se sbaglio, e grazie per l'attenzione che dedichi ai miei deliri.

Ok, pare proprio che ci siamo, finalmente! In quanto al resto...

elianto84 ha scritto:Smentiscimi se sbaglio, e grazie per l'attenzione che dedichi ai miei deliri.

Stai scherzando, vero?! Grazie a te, semmai, per la bella Matematica di cui sei capace: è un piacere poterti leggere! C'è tanto, tantissimo da imparare, a star dietro ai tuoi deliri...

Bene, adesso resta però da esibire una soluzione che non coinvolga l'analisi, e sia comprensibile (un nome a caso...) pure al nostro simpatico Bollazzo (dal latino Bollazzus, -i = tipico pischello da olimpiade). Su dunque, cari, datevi da fare.

Sbaglio o nella dimostrazione di elianto manca il caso $ p=0 $, che è un caso particolare per cui il minimo non è sempre $ 3(\alpha+1)^{-1} $ ??

Caso $ p=q $

$ \displaystyle \sum \dfrac{x}{\alpha/z+1}\ge \dfrac{3}{\alpha+1} $
$ xyz=1 $
Posto $ x=a/b $ $ y=b/c $ $ z=c/a $
Sostituendo...
$ \displaystyle \sum \dfrac{ac}{\alpha ab+bc}\ge \dfrac{3}{\alpha+1} $

che posto $ A=ab $ $ B=bc $ $ C=ca $

viene
$ \displaystyle \sum \frac{A}{\alpha B+C}\ge \frac{3}{\alpha+1} $

Vi ricorda qualcosa??? No? Male!! Rileggetevi gli utlimi giornalini :D

EDIT: Corretta stronzata, continuerò a pensare al caso generale, ma sono il alto mare