OliForum Matematico

Abbiamo 2n palle rosse e 2n palle blu disposte in riga. Dimostrare che posso prendere 2n palle consecutive tali che tra queste ce ne siano esattamente n rosse

Scelgo le prime 2n palline partendo da sinistra (ipotizzando che le palline siano disposte da sinistra verso destra..se così non è posso sempre spostarmi io ).
Definisco una "mossa" come segue: considero una pallina in meno da sinistra e ne considero una in più da destra (in pratica sposto di una pallina verso destra le 2n palline considerate).
Questa mossa mi permette di considerare tutte le 2n-uple considerabili e consecutive (che sono 2n+1 poichè la 2n-upla in considerazione può iniziare in 2n+1 posti differenti e le 2n-uple considerabili con la mossa data risultano essere 2n+1 con un max di 2n mosse fattibili).

Lemma 1
Dopo avere applicato 2n volte questa mossa (di più non posso) le 2n palline considerate risultano essere tutte diverse da quelle iniziali. Inoltre la prima 2n-upla unita all'ultima 2n-upla risulta essere l'insieme di tutte le 4n palline.

Sia B la cardinalità del sottoinsieme della 2n-upla considerata con solo palline Blu.
Analogamente definisco R(come cardinalità del complementare di B rispetto alla 2n-upla considerata)
Sia B-R=k

Rispetto alla mossa definita prima la quantità k è invariante modulo 2 perchè si comporta come segue:

Perdo una rosse (o blu) e prendo una blu(o rossa) +-2
Perdo una rossa(o blu) e guadagno una rossa (o blu) 0

Inoltre la quantità k varia al massimo di 2 (+ o -) rispetto alla mossa definita. Se B+R=2n allora$ B+R \equiv 0 (mod 2) $ e quindi $ B+R\equiv B-R\equiv 0(mod 2) $ e k risulta essere sempre pari.

Se k fosse sempre positivo (o sempre negativo) allora la tesi sarebbe falsa.
Se k è positivo con una certa 2n-upla e negativo in un'altra allora la tesi è vera perchè ci deve essere una 2n-upla con k=0 poichè k varia di 2 o di 0 con la mossa data ed'è sempre pari allora cambiando da positivo a negativo (o viceversa) assumerà anche il valore nullo (B=R=n).

Ipotizzo ora che sia sempre positivo per qualsiasi 2n-upla.
B>R per la prima 2n-upla e B>R per l'ultima 2n-upla (dopo 2n mosse) sommando le precedenti ottengo (in considerazione del lemma 1) che il numero di palline Blu è strettamente maggiore del numero di palline Rosse..che è assurdo.

Ragionando analogamente sul caso K sempre negativo ottengo la tesi

Buona giornata.

Lo so che non è richiesto e forse vado un po' fuori topic (però spero che nessuno se la prenda).Per allenarmi un po' ho provato a calcolare le possibili disposizioni delle 4n palline in modo che io possa sceglierne 2n tra le quali ve ne sino n rosse e n blu e mi è venuto:
$ \displaystyle \binom {2n}{n} \frac{(2n+1)!}{n!n!} $
Non è qualcuno potrebbe dirmi se è giusto e se magari si può semplificare ulteriormente