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Sia $ f(x,y) $ il più grande dei tre valori $ \displaystyle x, {1 \over y}, y + {1 \over x} $. Determinare il minimo di $ f(x, y) $ e indicare per quali delle variabili esso è raggiunto.

Salvatore

Edit: Correzione (scusate...)

Spider ha scritto:Sia $ f(x,y) $ il più piccolo dei tre valori $ \displaystyle x, {1 \over y}, y + {1 \over x} $. Determinare il minimo di $ f(x, y) $ e indicare per quali delle variabili esso è raggiunto.

Salvatore

ehm... mi sa che il problema parlava del PIU' GRANDE dei tre numeri $ \displaystyle x, {1 \over y}, y + {1 \over x} $...

maledizione a me che vado a memoria... Grazie frengo, ho corretto.

Salvatore

Ciao!

Allora,
è facile vedere che possiamo limitarci al caso x,y numeri negativi.

Supponiamo di aver trovato $ a,b $ negativi tali che $ a=\frac 1 b =b+\frac 1 a $. Allora chiaramente $ f(a,b)=a $.
Se $ x>a $ allora $ f(x,y)\geq x>a=f(a,b) $ per ogni y, e quindi tali funzioni non ci interessano. Analogamente non consideriamo le $ f(x,y) $ con $ y<b $.
Se poi $ x\leq a $ e $ y\geq b $ abbiamo $ f(x,y)\geq y+\frac 1 x \geq b+\frac 1 a =f(a,b) $, dove nella seconda disuguaglianza vale l'uguale solo se x=a e y=b.
Dunque se esiste una coppia di negativi (a,b) t.c. $ a=\frac 1 b =b+\frac 1 a $ essa è la soluzione cercata. Risolvedo il facile sistemino otteniamo $ a=-\sqrt 2, b=-\frac 1 {\sqrt 2} $ che dà dunque $ f(a,b)=-\sqrt 2 $.