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Variazione sul tema di un problema di un vecchio giornalino. Determinare tutti gli interi positivi $ n $ (con almeno 4 divisori) tali che:

$ n = a + b^2 + c^3 + d^4 $

Dove $ a $, $ b $, $ c $ e $ d $ sono, nell'ordine, i 4 divisori più piccoli di $ n $.

Saluti,
Salvatore

PS: il problema originale era la stessa richiesta con $ n = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 $.

Ovviamente $ a = 1 $. Inoltre non può essere $ b \equiv c \equiv d \equiv 1 \bmod 2 $, pena dedurne $ n \equiv 0 \bmod 2 $. Da qui $ b = 2 $. Nondimeno non può essere $ n = 2^k $, per qualche $ k \in \mathbb{N}_0 $, ché diversamente si avrebbe $ 0 \equiv 1 \bmod 2 $, assurdo! Sia pertanto $ q $ il più piccolo divisore primo intero positivo dispari di $ n $. Osserviamo che a forza $ q = c $ oppure $ q = d $, e che in entrambi i casi $ 2 \mid cd $. Se $ 4 \mid n $, allora non può essere $ d = q $, poiché ne risulterebbe $ c = 4 $ e quindi $ 0 \equiv 2 \bmod 4 $, assurdo! Pertanto, se $ 4 \mid n $, a forza $ c = q=3 $ e $ d = 4 $, onde dedurne $ n = 1 + 2^2 + 3^3 + 4^4 = 2^5 \cdot 3^2 $ (soluzione consistente). Se invece $ 4 \nmid n $, allora necessariamente $ c = q $ e $ d = 2q $, e perciò $ n = 1 + 2^2 + q^3 + 16q^4 $. Da qui $ 2^2 + 1 \equiv 0 \bmod q $, ovvero $ q = 5 $, e quindi $ n = 2 \cdot 5 \cdot 1013 $ (soluzione consistente too). FINE.

Avrei preferito che tu lo lasciassi stare...
Cmq ok

Salvatore

Spider ha scritto:Determinare tutti gli interi positivi $ n $ (con almeno 4 divisori) tali che $ n = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 $.

Naturalmente $ a = 1 $. Inoltre non può essere $ b \equiv c \equiv d \equiv 1 \bmod 2 $, pena dedurne $ n \equiv 0 \bmod 2 $. Da qui $ b = 2 $. Nondimeno non può essere $ n = 2^k $, per qualche $ k \in \mathbb{N}_0 $, ché diversamente si avrebbe $ 0 \equiv 1 \bmod 2 $, assurdo! Sia pertanto $ q $ il più piccolo divisore primo intero positivo dispari di $ n $. Osserviamo che a forza $ q = c $ oppure $ q = d $, e che in entrambi i casi $ 2 \mid cd $. Ancora $ 4 \nmid n $, poiché ne risulterebbe altrimenti $ 0 \equiv 2 \bmod 4 $, assurdo! Allora necessariamente $ c = q $ e $ d = 2q $, e perciò $ n = 1 + 2^2 + q^2 + 4q^2 $. Da qui $ 2^2 + 1 \equiv 0 \bmod q $, ovvero $ q = 5 $, e quindi $ n = 1^2 + 2^2 + 5^2 + 10^2 = 2 \cdot 5 \cdot 13 $ (soluzione consistente - nonché unica). Certo che si somigliano tutti...