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AIME 1985 - Problema 3
Inviato: 03 ott 2005, 20:52
da Spider
$ m $ ed $ n $ sono interi positivi tali che $ N = (m + ni)^3 - 107i $ è un intero positivo. Trovare $ N $.
Al solito, i diplomati non sono ammessi...
Salvatore
Inviato: 03 ott 2005, 22:58
da fph
$ i $ è l'unità immaginaria o un'altra variabile intera?
Inviato: 03 ott 2005, 23:36
da ReKaio
se fosse una variabile intera... di N ce ne sarebbero parecchi...
Re: AIME 1985 - Problema 3
Inviato: 04 ott 2005, 00:22
da frengo
$ N = (m + ni)^3 - 107i $
$ N = m^3 + 3m^2ni - 3mn^2 - n^3i - 107i $
$ N = m(m^2 - 3n^2) + i(3m^2n - n^3 - 107) $
Affinchè N sia un intero la parte immaginaria deve essere uguale a 0.
$ 3m^2n - n^3 - 107 = 0 $
$ n(3m^2 - n^2) = 107 $
dato che 107 è primo, o $ n=1 $ o $ n=107 $
se $ n=1 $
$ 3m^2 - 1 = 107 $
$ m^2=36 $
$ m=6 $
quindi $ N = m(m^2 - 3n^2) = 6(36 - 3) = 198 $
se $ n=107 $
$ 3m^2 - 107^2 = 1 $
congruenza $ mod3: 3 - 1 = 2 \neq 1 $
quindi l'unica soluzione è N=198