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Ecco un problemino facile, ma che mi piace.
Nella normale numerazione in base 10, trovare un numero che sia doppio di quello che si ottiene spostando la prima cifra all'ultimo posto. La soluzione è unica?
Esempio di spostamento: 43256 diventa 32564, ma il primo numero non è doppio del secondo. Un piccolo aiuto: la risposta è un numeraccio.

E lo zero dove lo mettiamo?! Maaah... In ogni caso, sia $ n\in\mathbb{N}_0 $ una soluzione del problema proposto. Allora a forza $ n \geq 10 $. Sia dunque $ k+1 $ il numero complessivo delle cifre decimali (significative) di $ n $, dove $ k\in\mathbb{N}_0 $. Può porsi $ n = 10^k\cdot a + m $, dove $ a \in\{0, 1, \ldots, 9\} $ ed $ m < 10^k $ è un intero non negativo.

Si tratta d'imporre $ 10^k a + m = 2(10m + a) $, ovvero $ 19m = (10^k - 2)a $, da cui $ m = \displaystyle\frac{10^k - 2}{19} \cdot a $. Poiché $ 10 $ è una radice primitiva $ \bmod\;\! 19 $ e $ 2 \equiv 10^{17}\bmod 19 $, se ne deduce pertanto $ k = 18h + 17 $, $ m = \displaystyle\frac{10^{18h+17} - 2}{19} \cdot a $ ed $ n = \displaystyle \frac{10^{18(h+1)}-1}{19}\cdot 2a $, dove $ h\in\mathbb{N} $ ed $ a $ è una qualunque cifra decimale $ \neq 0 $.

Ponendo $ a = 1 $ ed $ h = 0 $, ne risulta la soluzione minima positiva: $ n = 105263157894736842 $.

Ho una domanda... Perché questo problema non sta nella sezione TdN?!

HiTLeuLeR ha scritto:Ho una domanda... Perché questo problema non sta nella sezione TdN?!

Perchè, con la mia soluzione, lo ritenevo troppo facile per TdN. Eccola:
Partendo dal fondo, indico con a(1), a(2), ....., a(n) le cifre del numero. Deve essere
a(n)a(n-1)....a(3)a(2)a(1) = 2 * a(n-1).....a(2)a(1)a(n)
Conoscendo a(n) e facendo la moltiplicazione posso calcolare a(1); sostituendolo nel secondo membro e moltiplicando trovo a(2), eccetera. Conviene scrivere man mano le singole cifre, seguite da un asterisco se c'è riporto. Il processo termina quando si trova una cifra uguale ad una precedente, tenendo conto anche dell'asterisco, perchè di lì in poi il tutto si ripete. Se la cifra uguale è a(n), siamo alla soluzione, se è un'altra (in realtà questo caso non si verifica) si entra in loop e quindi va scartato il valore di partenza. Supponiamo ora che sia a(n)=1: per a(1), a(2), eccetera si ha
2, 4, 8, 6*, 3*, 7, 4*, 9, 8*, 7*, 5*, 1*, 3, 6, 2*, 5, 0*, 1
quindi una soluzione è il numero 105263157894736842. Non è l'unica: potremmo ripetere i calcoli fino al successivo 1, per una soluzione con 36 cifre, o ripetere ancora, con infinite soluzioni aventi 18k cifre, di cui la prima è 1.
Per a(n)=2, 3, eccetera non occorre fare altri calcoli, perchè tutte le cifre compaiono senza asterisco nel precedente elenco: basta quindi proseguirlo ripetendo le cifre trovate e poi leggere a ritroso il numero che va dalla prima cifra che vogliamo (senza asterisco) alla sua ripetizione esclusa: ci sono quindi 9 soluzioni con 18 cifre, ognuna delle quali ne origina infinite altre, come indicato per a(n)=1.
Questo se si ammette di accettare anche numeri che iniziano con zero; altrimenti va scartata proprio la soluzione che entrambi abbiamo indicato, perchè il suo spostato inizia con zero. Solo con questa ammissione si può accettare come soluzione il numero 0, scritto come una successione di 0: pensandolo come numero di una sola cifra, perde significato il verbo "spostare".

gianmaria ha scritto:la risposta è un numeraccio.

Gianmaria, sei ingeneroso!! Non è affatto un numeraccio. Se tanto mi da tanto, allora, per te anche 142857 è un numeraccio!! Eppure è il più piccolo intero positivo il cui quintuplo...

I più attenti si saranno accorti di una particolarità di questo numero: è lo sviluppo periodico di una certa frazione.

Lavorando su questo fatto, si può trovare una soluzione spettacolare per questo bell'esercizio, che insegna un bel truccaccio da tenere presente. Here it goes:

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Sia A un numero che risolve il problema e B il suo doppio, ottenuto spostando la cifra delle unità in testa.

Costruiamo i numeri

$ \scriptstyle x = 0,\overline A $ e $ \scriptstyle y = 0,\overline B $,

ossia i numeri periodici con periodo puro A e B rispettivamente.

B è il doppio di A e quindi ricaviamo che

$ \scriptstyle 2x = y $.

Del resto, traslando tutte le cifre di y a sinistra di un posto, torniamo quasi al numero originario: l'unica differenza è la cifra iniziale, che chiamo q. Possiamo perciò ricavare

$ \scriptstyle 10 y = q + x $

Risolvendo il tutto in funzione di q si trova

$ \scriptstyle x = \frac{q}{19} $

Ne segue che una condizione necessaria affinché A sia soluzione del problema, è che sia un periodo di una frazione con denominatore 19.

Se provate con 1/19 non funziona [trovate la famosa soluzione con prima cifra 0, che avete già scartato], ma con 2/19 trovate una nostra vecchia conoscenza:

$ \scriptstyle \frac{2}{19} = 0,105263157894\dots $. []


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Che ne dite?

A Marco : bellissima la tua soluzione! Rifiuto però di ritirare la parola “numeraccio”: capisco che tu lo consideri notevole come periodo della divisione per 19, ma proprio questo tuo pensiero mi ha suggerito il topic “numeri interessanti”. Se ti incuriosisce, lo troverai nei discorsi da birreria (non credo meriti classificazioni più onorevoli).
Mi resta una curiosità: cos'ha di speciale il numero 614285? E' il tuo telefono?

No. Il mio telefono è il più piccolo numero non interessante.

Credo che ti sei perso un "riporto due" nel fare la moltiplicazione:

142857 x 5 =
Settepercinquetrentacinque scrivocinqueeriportotré, cinquepercinqueventicinqueetreventotto scrivoottoeriportodue, ottopercinquequarantaeduequarantadue scrivodueeriportoquattro,
duepercinquedieciequattroquattordici scrivoquattroeriportouno,
quattropercinqueventieunoventuno scrivounoeriportodue, cinqueperunocinqueeduesette scrivosette.

Risultato: 714285.

E' il più piccolo numero che, spostando la cifra di coda in testa, si trasforma nel suo quintuplo. E se hai visto la mia dimostrazione, sai anche che è il periodo di...

Ehm... . Comunque, l'unica cosa strana è la lunghezza del tempo in cui ho evitato errori del genere.

142857 è il più piccolo numero che se moltiplicato per un numero n compreso tra 1 e 6 (compresi) presenta sempre le stesse sei cifre in successione ciclica:

142857*2=285714
142857*3=428571
142857*4=571428
142857*5=714285
142857*6=857142

142857*7=999999

Questo numero è lo sviluppo periodico di 1/7.