OliForum Matematico

Spostato in M.N.E.

EvaristeG
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Parto da alcuni casi particolari per cercare una proprietà più generale:

$ \[ \begin{array}{l} xy = \frac{1}{4}\left[ {(x + y)^2 - (x - y)^2 } \right] \\ x^2 y = \frac{1}{6}\left[ {(x + y)^3 - (x - y)^3 - 2y^3 } \right] \\ \end{array} \] $

Ora mi chiedo se in generale è vero che, dato un generico termine $ \[ x^i y^j \] $
si possono sempre trovare degli $ \[a_k\] $ e $ \[b_k\] $ per cui vale :

$ \[ x^i y^j = \sum\limits_{k = 0}^{M - 1} {(a_k x} + b_k y)^{(i + j)} \] $

Non so come dipende M da i e j.

Qualcuno saprebbe generalizzare a una combinazione generica?:

Cioè:

Dato:

$ \[ \begin{array}{l} p \in \mathbb{N}^N \\ \end{array} \] $

Esistono:

$ \[ \begin{array}{l} \lambda _k \in R^N \\ M \in N \\ {\rm{(0}} \le {\rm{k}} \le {\rm{M)}} \\ \end{array} \] $

tali che per qualsiasi $ \[ x \in \mathbb{R}^N\] $

vale l'uguaglianza:

$ \[ \prod\limits_{i = 0}^{N - 1} {x_i^{p_i } } = \sum\limits_{k = 0}^{M - 1} {\left( {(\sum\limits_{i = 0}^{N - 1} {\lambda _{ki} x_i )^{(\sum\limits_{i = 0}^{N - 1} {p_i )} } } } \right)} \\ \end{array} \] $

ehm...
io posso dire che la congettura è vera..
però per dimostrarla userei delle cosettine di algebra lineare sparse qui e lì...
se volete, spostate il thread in mne, altrimenti evito di postare...
magari la questione si risolve banalmente senza.

ps. riguardo a M.. uhm.. per il caso di $ x,y $ è sufficiente una somma di $ i+j+1 $ termini...
per altri valori delle variabili, potrebbe saltar fuori un $ \binom{d+n}{n} $, dove $ d $ è il grado del monomio, e $ n $ il numero di variabili...

Se qualcuno ha mai visto una dimostrazione anche solo accennata del bunching, ora è meglio andarla a rivedere e guardar bene come iniziava ... cmq, penso che non servano cose avanzate ... si dovrebbe riuscire a rispondere almeno ad alcune domande con "cose note".

Allora se la congettura è vera, ha una importante conseguenza: se abbiamo una

generica funzione di N variabili reali $ \[ f(x) \] $ con $ \[ x \in \mathbb{R}^N \] $, che sia sviluppabile secondo taylor in x=0:

Gli esponenti li prendiamo con dei vettori da $ \mathbb{N}^N $, che è

un'insieme numerabile (per esempio possiamo ordinare i vettori secondo la

somma degli esponenti, in ordine crescente.)

$ \[ \begin{array}{l} j \in \mathbb{N} \\ p(j) \in \mathbb{N}^N\\ a(j) \in \mathbb{R} \\ f(x) = \sum\limits_j {a(j)\prod\limits_{i = 0}^{N - 1} {x_i^{p(j)_{_i } } } } \\ \end{array} \] $


Allora posso riscriverla come somma di funzioni che variano ognuna lungo una

sola direzione nello spazio, cioè:

$ \[ \begin{array}{l} i \in \mathbb{N} \\ j \in \mathbb{N} \\ \lambda _i (j) \in \mathbb{R}^N \\ b_i (j) \in \mathbb{R} \\ \ x \in \mathbb{R}^N \\ f(x) = \sum\limits_i {\sum\limits_j {b_i (j)\left( {\left\langle {x,\lambda _i (j)} \right\rangle } \right)} } ^i \\ \end{array} \] $

Ora quello che mi chiedevo è questo: in generale, se ho una funzione di N variabili reali, posso esprimerla come somma (numerabile o non numerabile) di funzioni che variano solo lungo una direzione dello spazio, se contiamo tutte le possibili direzioni (che costituiscono un insieme continuo)? Abbiamo visto che con le funzioni sviluppabili secondo Taylor questo è possibile e risulta in una somma numerabile. Proviamo a definire l'espressione generale, e magari qualcuno può scoprire quali classi di funzioni sono esprimibili in questo modo e quali no?

Allora, sia D l'insieme di tutte le possibili direzioni in $ \[ \mathbb{R}^N \] $

Può essere definito in questo modo:
$ \[ \begin{array}{l} D \subset \mathbb{R}^N \\ d = \left( \begin{array}{l} d_0 \\ d_1 \\ ... \\ d_{N - 1} \\ \end{array} \right) \\ \forall d \in D : \\ \sum\limits_{i = 0}^{N - 1} {(d_i )^2 } = 1 \\ 0 \le i \le N - 2 \leftrightarrow d_i \in \left[ { - 1,1} \right] \\ d_{N - 1} \in \left[ {0,1} \right] \\ d_{N - 1} = \sqrt {1 - \sum\limits_{i = 0}^{N - 2} {(d_i )^2 } } \\ \end{array} \] $

Ora la funzione generica di N variabili reali sarebbe espressa in questo modo:
$ \[ \begin{array}{l} d \in D \\ x \in R^N \\ f(x) = \int\limits_D {g(d,\left\langle {x,d} \right\rangle )} \\ \end{array} \] $

dove l'integrale è (N-1) uplo.

Quindi le domande che vi pongo sono:
1-sapete individuare le classi di funzioni esprimibili in questo modo?
2-sapete trovare l'espressione di:
$ \[ g(d,\left\langle {x,d} \right\rangle ) = T(f(x)) \] $
?

Ecco, ora non può più stare in Algebra, ma finisce in MNE ... ma insomma, è così difficile capire che qui ci vanno solo cose da olimpiadi ??
La prima domanda era un esercizio quasi decente sui polinomi omogenei, ma questa seconda parte è chiaramente non elementare ...

Hai ragione scusa, ma volevo fare seguire a tutti questo discorso per passare alla forma più generale integrale

ok, allora..
per la primissima questione: i polinomi omogenei di grado $ N $ in due variabili sono uno spazio vettoriale di dimensione $ N+1 $.
quindi quello che dobbiamo cercare sono $ N+1 $ vettori indipendenti: consideriamo allora $ (x+ky)^N $ per $ k = 0, .., N $.
la matrice di cambiamento di base (rispetto alla base standard di questo spazio, ovvero $ e_i = x^iy^{N-i} $ sarà una cosiddetta matrice di vandermonde: anzi, più precisamente, è una matrice le cui colonne sono multipli (la colonna $ k $-esima moltiplicata per $ \displaystyle\binom{N}{k} $) di una matrice di vandermonde, che quindi è non singolare.. di conseguenza, questi vettori sono una base dello spazio, e dunque lo generano, stop.

by the way.. matrice di vandermonde: $ a_{ij} = x_i^j $ (o con gli indici scambiati). il determinante è (in valore assoluto) $ |\prod_{i \neq j} (x_i - x_j)| $

ma_go ha scritto: by the way.. matrice di vandermonde: $ a_{ij} = x_i^j $ (o con gli indici scambiati). il determinante è (in valore assoluto) $ |\prod_{i \neq j} (x_i - x_j)| $

credo sia meglio

$ a_{ij}=x_i^{j-1} $

(così ci sono gli uni sulla prima colonna)

e il determinante dovrebbe essere

$ \prod_{i>j}(x_i-x_j) $