OliForum Matematico

Sono scelti a caso ed indipendentemente l\'uno dall\'altro due numeri x e y nell\'intervallo (0,1). Qual è la probabilità che [x/y] sia pari?
<BR>
<BR>PS, [z] è l\'intero più vicino a z, o maggiore o minore.

_per 0.5< y <1 , x deve stare fra 0 e y/2, quindi la probabilità è la media aritmetica tra 1/4 e 1/2, cioè 3/8
<BR>_per 0< y <0.5 , x deve stare o ancora fra 0 e y/2[prob=media aritmetica tra 0 e 1/4 =1/8], oppure fra 2ky-y/2 e 2ky+y/2 [prob=1/2 media aritmetica fra 1/2 e 1=3/8]
<BR>prob tot: 1/2[3/8 + 1/8 + 3/8]= 7/16
<BR> <IMG SRC="images/splatt_forum/icons/icon_cool.gif"> ....mhhh,,,, poco convincente!<BR><BR><font size=1>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: alberto il 2002-05-27 14:01 ]</font>

eheheh <IMG SRC="images/splatt_forum/icons/icon_smile.gif">

ufff...tutto sbagliato! ci ripenserò
<BR>

UUUP!

Per caso, quel \"tutto sommato, facile\" significa che, una volta sommate tutte le probabilità parziali, diventa un problema facile?
<BR>A me è sembrato molto più difficile di quanto il titolo lasciasse supporre, e non ho trovato soluzioni che non usassero l\'analisi. Comunque, questo è il modo in cui l\'ho risolto:
<BR>Fissiamo x, e vediamo che [x/y]=0 se e solo se y>2x. Allora, se x varia da 1/2 a 1, nessun y va bene, mentre se x varia da 0 a 1/2, la lunghezza dell\'unione dei possibili y varia da 1 a 0 in modo lineare. Quindi, la probabilità che [x/y] sia 0 (che è pari) è (1/2)(1/2)=1/4. Adesso vogliamo che [x/y] sia un intero positivo pari, cioè vogliamo che esista un intero positivo n tale che 2n-1/2 < x/y < 2n+1/2 il che, fissato x, equivale a x/(2n+1/2) < y < x/(2n-1/2). Quindi, per ogni n, l\'unione dei possibili y è un segmento di lunghezza x/(4n^2 - 1/4). Anche qui, y varia proporzionalmente a x (che varia da 0 a 1) e quindi, se si fissa n, la probabilità parziale diventa 1/(8n^2 - 1/2). Non resta quindi che trovare la somma della serie 1/(8n^2 - 1/2), per n che va da 1 a infinito, che secondo i miei calcoli è (4 - Pi)/4. Sommato ad 1/4 dà una probabilità totale di (5 - Pi)/4, cioè circa 0,465.
<BR>Esiste forse una soluzione elementare che mi è sfuggita? <IMG SRC="images/splatt_forum/icons/icon21.gif"> <BR><BR><font size=1>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Antimateria il 2002-06-02 07:47 ]</font>

Potrebbe essere giustificato il facile visto che nel post scriptum parla di intero...
<BR>o no? <IMG SRC="images/splatt_forum/icons/icon_wink.gif">

Questo non c\'entra, visto che x e y variano comunque tra i reali... ed il fatto che basti calcolare una sommatoria solo tra valori interi, non toglie che si debba affrontare la serie di cui sopra, almeno seguendo la mia linea di dimostrazione. Però non vedo in quale modo elementare si possa tirare fuori quel pigreco da una sommatoria di razionali.
<BR>Gauss, se conosci una soluzione elementare, illuminaci!!!

30 minuti persi a sommare sommatorie, e scopro che [] invece di indicare la parte intera indica l\'intero più vicino!
<BR>(in quel caso mi viene 1 - ln2/2)
<BR>CaO (ossido di calcio)

Per la cronaca, sia la mia soluzione che quella di FrancescoVeneziano (o almeno credo!) utilizzano alcuni risultati del Calcolo Infinitesimale, ed in particolare gli sviluppi in serie di Taylor. Infatti si può dimostrare che arctan(x) = Sum(n=0..+inf, ((-1)^n)(x^(2n+1))/(2n+1) ), e che Ln(1+x) = Sum(n=1..+inf, ((-1)^(n+1))(x^n)/n ) da cui si ricava, sostituendo x=1, rispettivamente Pi/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ... , e Ln(2) = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... .
<BR>Ricordo che la mia serie era S1=Sum(n=1..+inf, 1/(8n^2-1/2) ). Ogni termine si può spezzare in due frazioni nel seguente modo: 1/(8n^2-1/2) = 2/(16n^2-1) = 2/((4n+1)(4n-1)) = 1/(4n-1) - 1/(4n+1). Quindi, evidentemente Pi/4 = 1-S1, da cui S1=(4-Pi)/4. Invece, la serie a cui dovrebbe essere giunto FrancescoVeneziano interpretando [x/y] come parte intera di x/y e procedendo in modo analogo a prima (cioè ponendo 2n<=x/y<2n+1), è S2=(1/2)Sum(n=1..+inf, 1/(2n) - 1/(2n+1) ). Si ricava allora Ln(2)=1-2(S2), e S2=(1-Ln(2))/2, a cui va aggiunta la probabilità parziale di n=0, che è 1/2. Il risultato finale è, appunto, 1-(Ln(2))/2.

Scusate se è tanto che non mi faccio sentire, ma ho avuto molto da fare. Si Antimateria i risultati coincidono con i tuoi.
<BR>Ora il \"tutto sommato facile\" voleva dire che arrivare alla prima serie e poi spezzarla sono passaggi fondamentalmente elementari. Ero tentato di postare insieme al problema anche lo sviluppo in serie di pi/4, ma mi sembrava che fosse molto celebre. In ogni caso qualcuno lo ha risolto <IMG SRC="images/splatt_forum/icons/icon_smile.gif">