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ciao a tutti

è da tempo che mi chiedo quali siano le probabilità di riuscita del seguente solitario:

si ha a disposizione un mazzo di 40 carte. Si gira una carta alla volta, contando 1 per la prima carta, 2 per la seconda, 3 per la terza, 1 per la quarta, 2 per la quinta e così via. se girando una carta, la carta svoltata ha lo stesso valore del numero che si pronuncia, il solitario fallisce. Riesce quindi se nessun asso è in una "posizione 1", nessun 2 è in una "posizione 2" e nessun 3 in una "posizione 3".
Quali sono le probabilità di riuscita?

So che la probabilità che un evento si verifichi è data dal $ \diplaystyle\frac{ numero di casi favorevoli}{numero di casi possibili} $. In questo caso i casi possibili sono le permutazioni di 40 oggetti, ovvero $ 40! $, ma quante sono le permutazioni favorevoli? esiste un modo di generalizzare contando $ n $ carte invece di 3? vi prego fornitemi una risposta a questo dilemma!

Secondo me i casi complessivi possono essere ridotti da $ 40! $ a $ \frac{40!}{10\cdot 4!} $.
Questo perché il seme non cambia nulla del solitario e quindi permutare fra loro i 4 assi (per esempio) l'esito non cambia. Si costruiscono quindi delle classi di equivalenza rispetto all'esito del solitario.
non risolve nulla, però abbassa di 240 volte (una miseria in effetti) i numeri in gioco.

mmmmmh... ho come l'impressione di non sapere assolutamente cos'è una classe di equivalenza...

comunque avevo pensato anch'io a quello che hai detto, ma le permutazioni degli assi non devono essere considerate ognuna come caso contrario, essendo gli assi elementi dell'insieme? voglio dire, il caso in cui si ha per esempio in ordine: asso di fiori, di picche, di quadri, di cuori è un caso diverso da tutti quelli costituiti da una permutazione di questi elementi. quindi non bisogna contare ogni caso una volta?

hydro ha scritto:mmmmmh... ho come l'impressione di non sapere assolutamente cos'è una classe di equivalenza...

Sai che cos'è una relazione d'equivalenza su un insieme?

Se lo sai, supponi di avere una r.d.e. ~ su un insieme X. ~ spartisce in modo naturale X in tanti sottoinsiemi nel modo seguente: piglia un elemento x € X e considera l'inseme Y degli elementi di X che sono in relazione con x:

Y = { y € X | x ~ y }.

Questa è la classe [di equivalenza] di x (che indico con [x]).

Fatti:

- se x ~ x', allora [x] = [x'] (ossia: la classe non dipende dalla scelta dell'elemento rappresentante)

- due classi hanno interesezione vuota, oppure coincidono

- l'unione di tutte le classi è X (questi ultimi due ti dicono che le classi costituiscono una partizione di X).

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Esempio di relazione di equivalenza:

I numeri modulo n.

x ~ y sse x-y è multiplo di n. [es.: verificare che è r.d.e.]

X è l'insieme Zdegli interi.

le classi di equivalenza sono le classi di resto mod. n (non a caso le classi si chiamano classi...)

ad esempio, la classe di 1 è

[1] = { ... 1-2n, 1-n, 1, 1+n, 1+2n, ...}.

Da qui a definire l'insieme quoziente il passo è breve.... ma questo lo vediamo un'altra volta.

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Tornando al solitario, Desko ti sta dicendo che, ai fini del solitario, i semi sono indifferenti, quindi puoi definire una r.d.e. tra i 40! mazzi possibili. Due mazzi sono equivalenti sse i valori facciali coincidono carta per carta. (la classe di equivalenza la puoi pensare come una disposizione di un mazzo di carte speciali, che non hanno semi, ma solo valori facciali).

@Desko: attento: ogni classe non contiene 10 4! = 240 elementi, ma ben $ (4!)^{10} $,quindi il guadagno non è poi così piccolo: sono circa 13 ordini di grandezza!!!

Una piccola nota sul taglio dei casi possibili...
Non sono $ \frac{40!}{(4!)^4} $, bensì $ \frac{40!}{(4!)^3 \cdot 28!} = 193584473082000 $, visto che all'atto pratico che una carta sia un 4, un 5 o qualsiasi altra cosa > 3 non interessa.
Detto questo, non vuol dire che i casi siano pochi, ad ogni modo Risolverli matematicamente è facile ma richiede un sacco di calcoli, fare brutalmente un codice che prova tutti i casi e ti dice la risposta è infattibile visto che numeri dell'ordine di $ 10^15 $ richiedono tempi dell'ordine di $ 10^6 $ secondi (i pc da 1 GHz fanno $ 10^9 $ operazioni al secondo), ovvero circa 10 giorni (che poi in realtà sono parecchi di più, verificare se una configurazione è valida richiede ben più di un'operazione elementare).
Il metodo migliore per avere la risposta è fare un algoritmo che invece di provare tutti i casi prova, ad esempio, solo quelli che hanno gli 1 ai posti giusti. Non è in realtà un gran taglio, e più tagli fai più brutto codice devi scrivere (visto che devi fare più conti a mano), quindi il metodo migliore rimane armarsi di carta, penna e tanta pazienza e fare i conti. Ma dubito che ci sia qualcuno che li farà e li posterà qui..

Marco ha scritto: Sai che cos'è una relazione d'equivalenza su un insieme?

è una relazione che gode della proprietà simmetrica, riflessiva e transitiva vero?

Marco ha scritto:x ~ y sse x-y è multiplo di n. [es.: verificare che è r.d.e.]

1) prop. riflessiva: x-x è multiplo di n. Vero $ \forall n \in N $
2) prop. simmetrica: se x-y è multiplo di n, allora y-x è multiplo di n. E' vero, cambia il segno
3) prop. transitiva: se x-y è multiplo di n e y-z è multiplo di n, allora x-z è multiplo di n. $ n\mid x-y $, $ n\mid y-z $ $ \rightarrow $ $ n\mid x-z $. Anche questo è vero: ~ è relazione di equivalenza.

Se le cose stanno così, allora ho capito cosa sono le classi di equivalenza... grazie mille per il chiarimento comunque!

Marco ha scritto:@Desko: attento: ogni classe non contiene 10 4! = 240 elementi, ma ben $ (4!)^{10} $,quindi il guadagno non è poi così piccolo: sono circa 13 ordini di grandezza!!!

Ecco come buttare al vento una laurea in matematica.

Non so se può interessarvi o esservi utile comunqe stamattina durante l'ora di letteratura italiana ho giocato un pochino al solitario finendolo 3 volte su 120 (dopo non avevo più voglia di continuare), non so quanto possa essere attendibile perchè le mie carte sono abbastanza consumate e quindi dubito siano equipotenti, ho riportato le vittorie alle giocate numero 32,34 e 42.
Influisce sul risultato il tipo di carte usate?oppure quante volte si mischia e se si taglia o cose del genere?