equazioni differenziali: un caso particolare di funzionali?
Inviato: 22 ott 2005, 17:53
Prendiamo una generica equazione differenziale del primo ordine (in una variabile):
$ \[ f'(x) = T_d (f(x),x) \] $
Possiamo vederla come ottenuta da un'equazione funzionale del tipo:
$ \[ \begin{array}{l} f(x + h) - f(x) = T(f(x),x,h) \\ \\ \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(x + h) - f(x)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{T(f(x),x,h)}}{h} \\ \end{array} \] $
Quindi basta prendere una qualsiasi T che abbia come limite per h tendente a 0 t_d(x):
$ \[ T_d (f(x),x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{T(f(x),x,h)}}{h} \] $
Ora volevo chiedere conferma di una cosa che mi pare ovvia: le equazioni differenziali, di qualsiasi ordine, in qualsiasi variabile, sono sempre un caso particolare di equazioni funzionali?
$ \[ f'(x) = T_d (f(x),x) \] $
Possiamo vederla come ottenuta da un'equazione funzionale del tipo:
$ \[ \begin{array}{l} f(x + h) - f(x) = T(f(x),x,h) \\ \\ \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(x + h) - f(x)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{T(f(x),x,h)}}{h} \\ \end{array} \] $
Quindi basta prendere una qualsiasi T che abbia come limite per h tendente a 0 t_d(x):
$ \[ T_d (f(x),x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{T(f(x),x,h)}}{h} \] $
Ora volevo chiedere conferma di una cosa che mi pare ovvia: le equazioni differenziali, di qualsiasi ordine, in qualsiasi variabile, sono sempre un caso particolare di equazioni funzionali?