OliForum Matematico

Questo problema sarà probabilmente già noto.
I 7 nani trovano un mucchio di gemme. Decidono di aspettare una settimana prima di dividersele.
La prima notte, Dotto di nascosto divide le gemme in 7 parti, prende una delle 7 parti per sé, e manda a biancaneve la pietra che avanzava dalla divisione.
La seconda notte, Brontolo divide le gemme restanti in 7 parti, avanza una pietra che manda a Biancaneve, e si cucca una delle 7 parti.
Così si comportano anche tutti gli altri, fino all'ultimo giorno, quando i nani si spartiscono il mucchio, notevolmente diminuito, in parti uguali. Quante erano le gemme?

credo che il problema abbia tante soluzioni, una per ogni multiplo di 7, visto che l'ultimo mucchio è diviso in 7 parti uguali senza resto.

trovare la minima soluzione naturale..

ok, ci provo

l'ultimo giorno avanza un multiplo di 7....diciam proprio 7
il giorno prima c'erano 7*7+1 gemme
il 6°=(7*7+1)*7+1
5°=((7*7+1)*7+1)*7+1
4°=(((7*7+1)*7+1)*7+1)*7+1
3°=((((7*7+1)*7+1)*7+1)*7+1)*7+1
2°=(((((7*7+1)*7+1)*7+1)*7+1)*7+1)*7+1
1°=((((((7*7+1)*7+1)*7+1)*7+1)*7+1)*7+1)*7+1
quindi credo che la risposta sia 5902058
...almeno spero...

edit:avevo perso un nano...

Questa me l'avevano proposta con un venditore di auto...

sotto il milione...

ok, ho sbagliato proprio il conto...adesso quando ho una pausa lo rifaccio

Forse ho barato un po' perché mi sono servito di Excel per fare un po' di tentativi, senza dimostrare nulla; quindi non do la soluzione minima (che effettivamente mi risulta sotto il milione) per lasciare il gusto algi altri, ma quella dopo (le altre no, altrimenti si indece facilmente la prima ricavando la formula generale):
6588338
Se non ho sbagliato nulla allora la soluzione proposta in un post precedente (5902058) non solo non è la soluzione minima, ma neppure una soluzione.

Bello il giochino.

Buondi

Penso di avere trovato la soluzione minima:
823537

Ecco la dimostrazione, perdonate la eventuale mancanza di rigore
ma non essendo un matematico, faccio quel che posso

Legenda:

x = Numero di pietre totali

x1,...,x7 = Numero di pietre dopo che il 1,...,7 nano hanno preso la loro parte (di nascosto dagli altri)

Dimostrazione:
Anzitutto scriviamo le equazioni relative a quello che succede

x = 7a + 1

x1 = 6a

Ovvero inizialmente Dotto arriva divide 7 parti con resto di 1 e prende una parte


x1 = 7b + 1

x2 = 6b

e così via fino ad arrivare alla fine:

x6 = 7g + 1

x7 = 6g

x7 = 7h

In quanto alla fine si ritrovano e spartiscono in parti uguali e senza resto
quello che è rimasto

Cominciamo a risolvere la serie di equazioni in funzione di h ovvero:

g = (7/6)h

f = ((7/6)^2)h + 1/6

e = ((7/6)^3)h + 7/(6^2) + 1/6

d = ((7/6)^4)h + (7^2)/(6^3) + 7/(6^2) + 1/6

e così via fino ad arrivare a calcolare:

a = ((7/6)^7)h + Sommatoria(i=1 .. 6) ( (7^(i-1)/(6^i)) )

Dato che :

x = 7a + 1 trovo che

x = ((7^8)/(6^7))h + Sommatoria(i=1 .. 6) ( (7^i)/(6^i) ) + 1


Ora viene il bello:
come si fa a rendere intera questa roba ?

Dato che ho fatto un po' di prove ora farò un'operazione che motiverò in seguito
ovvero effettuo un cambio di variabile:

g = (7/6)h (dall'inizio della dimostrazione)

Riscrivo quindi in funzione di g:

x = ((7^7)/(6^6))g + Sommatoria(i=1 .. 6) ( (7^i) / (6^i) ) + 1


Moltiplico entrambi i membri per 6^6 e trovo che:

(6^6)x = (7^7)g + Sommatoria(i=1 .. 6) ( (7^i) * (6^(6 - i)) ) + 6^6


Ora andiamo a calcolare il termine della Sommatoria e il termine seguente,
perchè tanto non sono un funzione di g quindi troviamo che valgono:

Sommatoria(i=1 .. 6) ( (7^i) * (6^(6 - i)) ) + 6^6 = 543607

Quindi ricapitolando troviamo che:

(6^6)x = (7^7)g + 543607

Adesso bisogna calcolare il valore di g che rende intero il valore di x,
bisogna quindi utilizzare la operazione di modulo, quindi troviamo che:

7^7 mod 6^6 = 30391

543607 mod 6^6 = 30391


In realtà però bisogna tenere conto del prodotto per g quindi si trova che:

(7^7)*g mod 6^6 = 30391*g


Quindi la somma dei moduli dei 2 termini a destra deve essere un multiplo intero
del termine a sinistra perchè x risulti intero ovvero:

30391 * (g+1) = p * 6^6

30391 * (g+1) = p * 46656

g = 46655


Vado a sostituire e calcolo:

x = (823543 * 46655 + 543607) / 46656

x = 823537


Verifica:

x = 823537

x1 = 705888

x2 = 605046

x3 = 518610

x4 = 444522

x5 = 381018

x6 = 326586

x7 = 279930

x_parte = 39990

Questo ultimo valore rappresenta la parte che ogni nano prende quando
si ritrovano e dividono tutto in parti uguali


Osservazione:

Adesso posso spiegare perchè ho fatto il cambiamento di variabili,
in questo modo ho potuto raccogliere durante il calcolo
dei moduli e semplificarmi molto la vita
Se avessi mantenuto h come variabile, non sarei riuscito a raccogliere

È circa il ragionamento che avevo fatto io, ma in modo più superficiale. I nemeri che ho trovato io sono gli stessi identici.

Vi devo ora rivelare da dove arriva questo problema.
Ebbene, è stato dato a mio fratello dal suo prof di matematica... da notare che è al primo anno di liceo scientifico.. anzi al primo mese direi...
Non so quanti ragazzi di 14 anni riuscirebbero a trovare la situazione (senza "barare" con excel), considerando anche le mie passate esperienze del laboratorio di matematica, dove in teoria erano presenti i migliori "matematici" della scuola, ma solo in pochi (e sicuramente fra i più vecchi) riuscivano a risolvere qualche problema decente.
Io sono rimasto stupito, ma anche colpito positivamente. Complimenti a un prof meno fossilizzato del solito e al suo problema "mostro" (come lo ha chiamato lui stesso).

Un giorno del triennio la prof entra in classe e a sorpresa ci fa separare i banchi, poi ci da un foglio col famoso problema degli occhi azzurri (lo posterei qua, ma credo che sia già noto al 96,8% dei frequentatori del forum e quasi sicuramente è già stato postata). Io lo conoscevo già e così non mi sono divertito, ma non so se ne sarei venuto a capo, non tanto per i calcoli, quanto per il metodo.

Allora è ufficiale: è già la seconda volta in una settimana
che vedo un problema abbastanza difficile dato da risolvere
a dei bambini

Alla sorella di un mio amico (addirittura in prima media)
ne è stato affidato uno sui generis, lo posto in un nuovo thread


Di conseguenza non si tratta probabilmente di casi isolati,
ma forse di una politica perseguita dalla scuola stessa

beh, che c'è di male? Se si fa vedere ai ragazzi delle superiori che la matematica non è solo risolvere meccanicamente equazioni lunghe due righe, ben vengano i problemi difficili (ma "creativi"). Poi magari uno si da da fare per cercare la soluzione in rete, arriva su un forum interessante e comincia a dare un'occhiata in giro...