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UGUAGLIANZA
Inviato: 25 ott 2005, 19:07
da goedelgauss
Come si dimostra questa uguaglianza di Eulero?
$ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}^{n^a} $=$ \displaystyle\prod_{p=2}^\infty\frac{p^a}^{p^a-1} $ con p primi.
Re: UGUAGLIANZA
Inviato: 25 ott 2005, 19:39
da Giggles
goedelgauss ha scritto:Come si dimostra questa uguaglianza di Eulero?
$ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}^{n^a} $=$ \displaystyle\prod_{p=2}^\infty\frac{p^a}^{p^a-1} $ con p primi.
in maniera piuttosto intuitiva scrivendo il termine della produttoria come 1/(1-1/p^a), ed espandendolo in una serie geometrica (1 + 1/p^a + 1/p^2a + ...). Poi facendo il prodotto tra tutte queste infinite sommatorie, vedi che ciascun numero (dato che รจ o primo o scomponibile in primi) viene fuori una e una sola volta... e ottieni la serie a primo membro. Ah, a>1.
Poi correggetemi dove sbaglio.