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Problema: risolvere in interi positivi l'equazione $ \displaystyle \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 1 $.

Sfruttiamo qui sostanzialmente il fatto che almeno una delle frazioni a sinistra deve essere piuttosto grandina (>=1/3) e la risoluzione "rapida" di equazioni del tipo:
$ \displaystyle \frac ax+\frac by =\frac pq $
dove x e y sono incognite; questa si risolve moltiplicando tutto per $ pqxy $ e in questo modo diviene: $ p^2xy - pqay-pqbx=0 $ ma sommando $ q^2ab $ a entrambi i membri e raccogliendo abbiamo: $ (px-qa)(py-qb)=q^2ab $ in questo modo dobbiamo solo fattorizzare. Detto questo ecco lo svolgimento "meccanico" dell'esercizio


Conto il numero delle soluzioni ogni volta che ne trovo una nuova.
escludendo il caso $ a=3 $, $ b=6 $, $ c=9 $ (1) avremo che almeno una delle frazioni a sinistra deve essere > di 1/3.
Dividiamo il 3 parti: consideriamo quando il maggiore tra i tre termini a sinistra è $ 3/c $, $ 2/b $ oppure $ 1/a $ e avremo i casi:

$ c=4,5,6,7,8 $ che danno:
$ c=4 $ => $ \frac 1a+\frac 2b=\frac 14 $ => $ (a-4)(b-8)=32 $
soluzioni (fattorizzando il $ 32 $):
$ (5,40,4) $ (2)
$ (6,24,4) $ (3)
$ (8,16,4) $ (4)
$ (12,12,4) $ (5)
$ (20,10,4) $ (6)
$ (36,9,4) $ (7)

$ c=5 $ => $ \frac 1a + \frac 2b = \frac 25 $ => $ (2a-5)(b-5)=25 $
soluzioni (fattorizzando 25):
$ (3,30,5) $ (8)
$ (5,10,5) $ (9)
$ (15,6,5) $ (10)

$ c=6 $ => $ \frac 1a + \frac 2b = \frac 12 $ => $ (a-2)(b-4)=8 $
soluzioni (fattorizzando 8):
$ (3,12,6) $ (11)
$ (4,8,6) $ (12)
$ (6,6,6) $ (13)
$ (10,5,6) $ (14)

$ c=7 $ => $ \frac 1a + \frac 2b = \frac 47 $ => $ (4a-7)(2b-7)=49 $
soluzioni (fattorizzando 49 e facendo attenzione al modulo 4):
$ (2,28,7) $ (15)
$ (14,4,7) $ (16)

$ c=8 $ => $ \frac 1a + \frac 2b = \frac 58 $ => $ (5a-8)(5b-16)=128 $
soluzioni (fattorizzando 128 e facendo attenzione al modulo 5):
$ (2,16,8) $ (17)
$ (8,4,8) $ (18)

$ b=3,4,5 $ che danno:
$ b=3 $ => $ \frac 1a + \frac 3c = \frac 13 $ => $ (a-3)(c-9)=27 $
soluzioni (fattorizzando 27):
$ (4,3,36) $ (19)
$ (6,3,18) $ (20)
$ (12,3,12) $ (21)
$ (30,3,10) $ (22)

$ b=4 $ => $ \frac 1a + \frac 3c = \frac 12 $ => $ (a-2)(c-6)=12 $
soluzioni (fattorizzando 12):
$ (3,4,18) $ (23)
$ (4,4,12) $ (24)
$ (5,4,10) $ (25)
$ (6,4,9) $ (26)
$ (8,4,8) $ già vista (18)
$ (14,4,7) $ già vista (16)

$ b=5 $ => $ \frac 1a + \frac 3c = \frac 35 $ => $ (3a-5)(c-5)=25 $
soluzioni (fattorizzando 25 e facendo attenzione al modulo 3):
$ (2,5,30) $ (27)
$ (10,5,6) $ già vista (14)

$ a=2 $ => $ \frac 2b + \frac 3c = \frac 12 $ => $ (b-4)(c-6)=24 $
soluzioni (fattorizzando 24):
$ (2,5,30) $ già vista (27)
$ (2,6,18) $ (28)
$ (2,7,14) $ (29)
$ (2,8,12) $ (30)
$ (2,10,10) $ (31)
$ (2,12,9) $ (32)
$ (2,16,8) $ già vista (17)
$ (2,28,7) $ già vista (15)

Quindi in totale abbiamo 32 soluzioni