Topologia: regolarità e numerabilità vs normalità
Inviato: 31 ott 2005, 12:17
E' noto che ogni spazio topologico regolare e numerabile di seconda specie è pure uno spazio topologico normale. Ecco allora i problemi:
1. Esibire l'esempio di uno spazio topologico normale che non sia numerabile di seconda specie.
2. Esibire l'esempio di uno spazio topologico regolare e numerabile di prima specie che non sia anche normale.
Giusto per chiarezza, diciamo che uno spazio topologico $ (\mathcal{S}, \mathcal{O}) $ è
- regolare se è di Hausdorff e separa i punti dai chiusi;
- normale se è di Hausdorff e separa i chiusi dai chiusi;
- numerabile di I specie se, comunque scelto un punto $ p \in \mathcal{S} $, esiste una famiglia numerabile $ \{U_i\}_{i\in\mathbb{N}} $ di intorni del punto tale che, per ogni altro intorno $ U $ di $ p $, esista un qualche $ i \in \mathbb{N} $ per cui $ U_i \subseteq U $;
- numerabile di II specie se la topologia possiede una base numerabile (di aperti).
1. Esibire l'esempio di uno spazio topologico normale che non sia numerabile di seconda specie.
2. Esibire l'esempio di uno spazio topologico regolare e numerabile di prima specie che non sia anche normale.
Giusto per chiarezza, diciamo che uno spazio topologico $ (\mathcal{S}, \mathcal{O}) $ è
- regolare se è di Hausdorff e separa i punti dai chiusi;
- normale se è di Hausdorff e separa i chiusi dai chiusi;
- numerabile di I specie se, comunque scelto un punto $ p \in \mathcal{S} $, esiste una famiglia numerabile $ \{U_i\}_{i\in\mathbb{N}} $ di intorni del punto tale che, per ogni altro intorno $ U $ di $ p $, esista un qualche $ i \in \mathbb{N} $ per cui $ U_i \subseteq U $;
- numerabile di II specie se la topologia possiede una base numerabile (di aperti).
