OliForum Matematico

prometto che questo è l'ultimo.....

provare che non esiste nessuna funzione BIIETTIVA dai numeri positivi a quelli non negativi (positivi più lo zero) soddisfante questa relazione:

$ f(mn)=f(m)+f(n)+3f(m)f(n) $

ciao ciao

EDIT:come promesso, è stato tolto il divieto per i non-liceali....spero che nessuno esageri.

m = n = 1
-> (3f(1) + 1) f(1) = 0
-> f(1) = 0 vel f(1) = -1/3 < 0
-> f(1) = 0
-> f(m) = 0, \forall m \in \dom f
-> f isn't bijective
-> no solution

EDIT: in fase di restauro, ho bisogno di un paio di occhiali!!!

-> f(1) = 0
-> f(m) = 0, $ \forall m \in Dom\left(f\right) $

Mi speghi questo?

Uh, intrigante... L'equazione si riscrive nella forma $ 3f(mn) + 1 = (3f(m) + 1)(3f(n) + 1) $. Posto $ g(x) = 3f(x) + 1 $, per ogni $ x \in \mathbb{Z}^+ $, e osservato che $ g $ è iniettiva sse $ f $ (deh, se mi sento ellittico!), si è perciò ricondotti a determinare tutte e sole le eventuali funzioni bigettive $ g: \mathbb{Z}^+ \mapsto 3\mathbb{N}+1 $. Del resto, $ g $ è banalmente moltiplicativa. Osservando allora che $ (3\cdot 1 + 1)\cdot (3\cdot 21 + 1) = (3\cdot 5 + 1)^2 $, si arriva speditamente alla tanto agoniata conclusione.

P.S.: chiedo venia a mio Signore, ma prima avevo incautamente scambiato una "m" per una "n"...

mmm...si,l'idea è quella, mi spiegheresti meglio l'idea del $ (3\cdot 1 + 1)\cdot (3\cdot 21 + 1) = (3\cdot 5 + 1)^2 \longrightarrow $ fine?

ciao ciao

PS vedo che hai ripreso ad usare i tag tex... quale gioia per gli occhi...!

frengo ha scritto:[...] mi spiegheresti meglio l'idea [...]

No, mi scoccio!

[parentesi velenosa]
...e poi dicono che non bisogna dare malevoli giudizi sugli utenti di questo forum ...
[/parentesi velenosa]