OliForum Matematico

Visto che ultimamente ci sono stati alcuni thread di topologia generale, propongo un classico quesito sempre simpatico :

Sia $ \mathcal{A}=[0,1]\times[0,1]/\sim $ dove $ (x,y)\sim(s,t) $ se e solo se x=s, y=t o $ x,s\in\{0,1\} $,y=t; sia $ \mathcal{M}=[0,1]\times[0,1]/\sim' $ dove $ (x,y)\sim'(s,t) $ se e solo se x=s,y=t o (x=0,s=1 o x=1,s=0), y=1-t.
Questi due spazi $ \mathcal{M},\mathcal{A} $ sono omeomorfi?

No perchè hanno primo gruppo di omotopia differente; in particolare:
$ \pi_1\left(\mathcal{M}\right)=\mathbb{Z} $ e $ \pi_1\left(\mathcal{A}\right)=\mathbb{Z}_2 $

Ok, ma senza topologia algebrica?
Anche perchè, potrei chiederti di dimostrarlo ... confidando che tu abbia scambiato i due gruppi per errore (il pi1 di M è Z/2Z, quello di A è Z)

Scusate l'ignoranza, l'orientabilità è un invariante topologico?

sì, ma devi :
1) definirla
2) dimostrare che uno dei due è orientabile e l'altro no

Si li ho scambiati Leggendo la riga della domanda ho pensato che fossero nello stesso ordine della riga precedente
Cmq dimostrarlo non è difficile, ammettendo di non partire da troppo lontano

Cmq, senza usare il gruppo fondamentale si può fare lo stesso.

Uhm devo pure essermi rincoglionito : i gruppi fondamentali di entrambi gli spazi sono Z ...

Oh, facciamo chiarezza :
$ \pi_1(\mathcal{A})=\pi_1(\mathcal{M})=\mathbb{Z} $
quindi, moebius, no!

UP!!
ricapitolo : in un momento di follia ho detto di sì a moebius, ma la sua risposta è sbagliata : i gruppi fondamentali del nastro e dell'anello sono entrambi Z. Quindi, il quesito rimane insoluto.

In effetti ho fatto un erroraccio... Ho costruito il nastro come complesso (attaccando una 2-cella ad a S1 sul bordo per intendersi) e ho cannato (manco di poco) la funzione d'attaccamento... Complimentoni a me stesso!
In effetti entrambi i gruppi sono Z, come ha senso aspettarsi... Insomma stiamo girando intorno a un buco, che vi aspettavate?
Domani, se sopravvivo al venerdì sera, provo a scrivere qualcosa di più sensato