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Dimostrare la seguente disuguaglianza per tutti gli a,b,c positivi:

$ \displaystyle\sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{x+z}}+\sqrt{\frac{z}{x+y}}>2 $

P.S. senza limitazione di età.. ma magari per i più grandi chiedo di aspettare un pochino.

ciao a tutti

MOLTO bello e MOLTO difficile....UP!

frengo ha scritto:Dimostrare la seguente disuguaglianza per tutti gli a,b,c positivi:

$ \displaystyle\sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{x+z}}+\sqrt{\frac{z}{x+y}}>2 $

P.S. senza limitazione di età.. ma magari per i più grandi chiedo di aspettare un pochino.

ciao a tutti

Indovinate un po' con che disuguaglianza si può risolvere??? eh si, avete indovinato è proprio così, la faccio con CAUCHY-SCHWARZ!!

Dunque innanzitutto, essendo omogenea, pongo $ x+y+z=1 $ e poi vado ad applicare cauchy-schwarz in questo modo (dopo aver sostituito $ y+z=(x+y+z)-x=1-x $ e cicliche:

$ \displaystyle \left( \sqrt{\frac {1-x}x x^4} + \sqrt{\frac {1-y}y y^4} + \sqrt{\frac {1-z}z z^4} \right) $ $ \displaystyle\left( \sqrt{\frac x{1-x}} + \sqrt{\frac y{1-y}} + \sqrt{\frac z{1-z}} \right) $ $ \displaystyle \geq \left (\sqrt{\sqrt{x^4}} + \sqrt{\sqrt{y^4}} + \sqrt{\sqrt{z^4}} \right) ^2 = 1 $

Ma abbiamo che $ \frac {1-x}x \leq \frac 1{4x^2} $ infatti portando tutto al primo membro risulta: $ - (\frac 1{2x} - 1)^2 \leq 0 $ che è vera. Quindi abbiamo che:

$ \displaystyle \left( \sqrt{\frac {1-x}x x^4} + \sqrt{\frac {1-y}y y^4} + \sqrt{\frac {1-z}z z^4} \right) $ $ \displaystyle \leq \left( \sqrt{\frac {x^4}{4x^2}} + \sqrt{\frac {y^4}{4y^2}} + \sqrt{\frac {z^4}{4z^2} \right) =\frac 12 (x+y+z ) = \frac 12 $

chiamiamo $ S $ il primo membro di questa disuguaglianza. abbiamo che $ 2S<1 $ con il minore stretto perchè per avere uguaglianza dovremmo avere $ x=y=z=\frac 12 $ con $ x+y+z=1 $ ma ciò è impossibile. Quindi abbiamo che, per quanto dimostrato prima:

$ \displaystyle S \left( \sqrt{\frac x{1-x}} + \sqrt{\frac y{1-y}} + \sqrt{\frac z{1-z}} \right)\geq 1 $
$ \displaystyle \left( \sqrt{\frac x{1-x}} + \sqrt{\frac y{1-y}} + \sqrt{\frac z{1-z}} \right)\geq \frac 1S > 2 $

Quindi la disuguaglianza è dimostrata.

io ho avuto un pò più di "fortuna" nel risolverlo... mi è venuta subito la soluzione "fighissima"...

LEMMA:

$ \displaystyle \sqrt\frac{x}{y+z} \geq \frac{2x}{x+y+z} $

DIMOSTRAZIONE:

$ \displaystyle \frac{x}{y+z} \geq \frac{4x^2}{(x+y+z)^2} $

$ (x+y+z)^2 \geq 4x(y+z) $

$ x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz\geq4xy+4xz $

$ x^2+y^2+z^2-2xy+2yz-2xz\geq4xy+4xz $

$ (y+z-x)^2\geq0 $

sempre vera.

simmetricamente si ottiene

$ \displaystyle \sqrt\frac{x}{y+z} \geq \frac{2x}{x+y+z} $

$ \displaystyle \sqrt\frac{y}{x+z} \geq \frac{2y}{x+y+z} $

$ \displaystyle \sqrt\frac{z}{y+x} \geq \frac{2z}{x+y+z} $

e sommando

$ \displaystyle \sqrt\frac{x}{y+z}+\sqrt\frac{y}{x+z}+\sqrt\frac{z}{y+x}\geq \frac{2x+2y+2z}{x+y+z}=2 $

non vale l'uguaglianza perchè
$ x=y+z $
$ y=x+z $
$ z=x+y $

valgono insieme solo se $ x=y=z=0 $


bella vè?

ciao ciao

Eh si stavolta la tua è veramente $ \phi $ghissima!!!

aggiunti i tag tex
EG
-------------------------------


By Jensen's $ \mbox{LHS} \ge 3 \cdot \sqrt{\frac{1}{3} \sum_{\mbox{cyc}}\sqrt{x}{y+z}} $. By Nesbitt's $ \sum_{\mbox{cyc}}\sqrt{x}{y+z} \ge \frac{3}{2} $. E siccome $ 3 > 2\sqrt{2} $...

EDIT: ignorate questo messaggio, qualcuno l'ha inavvertitamente (!!!) sabotato.

L'idea era la stessa,ma hai voglia di derivare...

Jensen Forever

thematrix ha scritto:L'idea era la stessa, ma hai voglia di derivare...

Derivare?! E a che pro? Per stabilire che la radice è concave down in [0, +\infty[ ? Ma loool...

frengo ha scritto:MOLTO bello e MOLTO difficile....UP!

Anche MOLTO sopravvalutato, dai...

HiTLeuLeR ha scritto: HiTLeuLeR's solution

By Jensen's $ \mbox{LHS} \ge 3 \cdot \sqrt{\frac{1}{3} \sum_{\mbox{cyc}}\frac{x}{y+z}} $. By Nesbitt's $ \sum_{\mbox{cyc}}\frac{x}{y+z} \ge \frac{3}{2} $. E siccome $ 3 > 2\sqrt{2} $...

nel tuo modo dimostri che LHS è sempre maggiore di $ \displatstyle \frac{3}{\sqrt2} $. ecco per esempio, scegliendo $ a=1,b=1,c=\frac{1}{10} $ viene
LHS=2,0417886....
e
$ \displatstyle \frac{3}{\sqrt2} $=2,121320...

vedi un pò tu se è il caso andare a controllare la derivata seconda...

HiTLeuLeR ha scritto: Derivare?! E a che pro? Per stabilire che la radice è concave down in [0, +\infty[ ? Ma loool...

thematrix ha scritto:L'idea era la stessa, ma hai voglia di derivare...

...

Si ricorda ai gentili utenti del forum che la funzione $ f(x)=\sqrt \dfrac{x}{1-x} $ ha un punto di flesso, precisamente in $ x=\dfrac{1}{4} $. Quindi Jensen sfava, dovrebbe venire con quel coso chiamato Inflection Point Theorem, di cui sentii parlare e che tratta appunto delle funzioni con un solo punto di flesso, ma disgraziatamente non trovo più informazioni di tale teorema su MathLinks.

Hitleuler, puoi per favore dire a che funzione hai applicato jensen?

secondo me l'ha usato per dire che
$ \displaystyle \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}{3}\geq\sqrt{\frac{a+b+c}{3}} $

che oltre a chiamarsi anche AM-QM è nel verso sbagliato...

HiTLeuLeR ha scritto:aggiunti i tag tex
EG
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By Jensen's $ \mbox{LHS} \ge 3 \cdot \sqrt{\frac{1}{3} \sum_{\mbox{cyc}}\sqrt{x}{y+z}} $. By Nesbitt's $ \sum_{\mbox{cyc}}\sqrt{x}{y+z} \ge \frac{3}{2} $. E siccome $ 3 > 2\sqrt{2} $...

@Ev: a quanto pare non ti sei soltanto limitato ad aggiungere i tag tex, ma hai anche modificato il codice originale...

frengo ha scritto:

HiTLeuLeR ha scritto: HiTLeuLeR's solution

By Jensen's $ \mbox{LHS} \ge 3 \cdot \sqrt{\frac{1}{3} \sum_{\mbox{cyc}}\frac{x}{y+z}} $. By Nesbitt's $ \sum_{\mbox{cyc}}\frac{x}{y+z} \ge \frac{3}{2} $. E siccome $ 3 > 2\sqrt{2} $...

...prova ne è il fatto che frengo pare aver quotato (prima del tuo intervento) lo stesso messaggio, mettendo i tag tex al punto giusto ed ottenendo di conseguenza il risultato voluto! Uh... Sono un po' perplesso. Perché intervenire sul codice?!