OliForum Matematico

Entusiasti delle capacita' organizzative dei Goldbugs, i ricercatori co.co.co. dell'Universita' Bovina hanno deciso di disporre con fare certosino i Goldbugs su una griglia m x n.
I goldbugs, dal canto loro, non sono cambiati. Sono dotati di occhi e continuano ad essere timidi ed a guardarsi in cagnesco. Ogni Goldbug dalla sua guarda in una delle quattro direzioni, se di fronte a lui c'e' un Goldbug che lo si fissa, si girano entrambi dall'altra parte arrossendo
I ricercatori avranno un finanziamento speciale se riusciranno a scoprire che i Goldbugs raggiuingono la stabilita' in un numero finito di passi. Riusciranno ad offrire una cena a base di pesce ai familiari a ricerca terminata?

Se un Golbug piroettando dentro alla sua casella incontra lo sguardo di un altro Golbug,fermo od in movimento,deve ignorarlo o girare?Anche l'altro Golbug deve girare?Mi sembrano possibili,nonché interessanti,estensioni.
Idee?
Ciao

Il Goldbug fa un saltino e si gira di 180 gradi. Non importa anche se incontra lo sguardo di un altro goldbug.
P.S. tutti i "salti" possibili ad un tempo t avvengono contemporaneamente.

Forse non ho capito bene, ma se girano di 180 gradi, non è come tanti casi "unidimensionali" separati? (la stessa domanda vale per la congettura ovviamente )

Gotcha!
Pero' bisogna formalizzarlo un pochettino...

Penso che la formalizzazione non sia un grosso problema.. Nel caso di rotazioni di 90 gradi anche casuali funziona lo stesso?

No, non funziona; i sistemi che si vengono a creare non sono indipendenti, si ha quello che viene chiamato sistema con feedback.
Trova un esempio 2 x 2 per il quale il sistema (con rotazioni cosuali) vada avanti all'infinito...

In effetti rotazioni casuali è chiedere un pò troppo... Rotazioni nello stesso senso?

Facciamo rotazione di 90 gradi in senso antiorario...

Traduco Goldbug con baco, probabilmente vuole dire altro

Trova un esempio 2 x 2 per il quale il sistema (con rotazioni cosuali) vada avanti all'infinito...

Se un baco può scegliere (oppure se le mosse sono casuali ) da che parte girarsi (sempre di 90°) posso trovare una serie di configurazioni che si possono ripetono all’infinito.
Sia considerata una tabella 2*2 in cui il baco $ B_{a,b} $ sta nella a-esima riga e nella b-esima colonna.

Parto dalla configurazione in cui:
$ B_{1,1} $ guarda in cagnesco $ B_{2,1} $ e
$ B_{1,2} $ guarda in cagnesco $ B_{2,2} $

Posso arrivare attraverso opportune rotazioni di 90° alla configurazione in cui:
$ B_{1,1} $ guarda in cagnesco $ B_{1,2} $ e
$ B_{2,1} $ guarda in cagnesco $ B_{2,2} $ dalla quale posso ritornare al punto di partenza attraverso opportune rotazioni di 90°.
Poi posso ripetere tutto nuovamente.

Quindi il claim:"i Goldbugs raggiuingono la stabilita' in un numero finito di passi" è falso se le mosse sono rotazioni casuali.

Facciamo rotazione di 90 gradi in senso antiorario...

In questo caso sicuramente prima o poi i bachi si fermeranno, infatti:

1) Ipotizzo che esistano (m, n) > 2 tali che i bachi in una griglia m*n continuino a guardarsi male all'infinito.

Dati m,n le configurazioni possibili sono finite (ogni baco può guardare in sole 4 posizioni diverse).
Quindi, se la 1 è vera, si ripete due volte una stessa configurazione A , dopodiché si ripeteranno anche le configurazioni seguenti ad A.
Si crea quindi una serie di configurazioni che si ripete all'infinito.

Ipotizzo che nella serie di configurazioni che si ripete i bachi che stanno sul bordo (i più esterni) si muovano.
Questo vuole dire che almeno un baco esterno fa un giro completo su se stesso.
Girando su se stesso (di 90° in 90° con verso antiorario) prima o poi guarderà fuori dalla griglia.
Quando guarda fuori non si può più muovere.
Quindi è assurdo che i bachi più esterni si muovano nella serie di configurazioni che si ripete.
Posso quindi cancellare tutto il bordo ed ottenere una griglia (m-2)(n-2) in cui i bachi continuino a muoversi all'infinito.

Per discesa arrivo ad una configurazione 2*k o 1*k in cui i bachi continuano a muoversi all'infinito.
Ma in queste due configurazioni ogni baco può fare un numero di mosse finito prima di guardare fuori e non muoversi più.
Quindi l'ipotesi 1 è assurda e in un numero finito di mosse tutti i bachi si fermano.