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Calcolare
$ $T=\sum\frac{1}{n_1!\,n_2!\cdots n_{1994}!\,\left(n_2+2n_3+3n_4+\cdots+1993n_{1994}\right)!}, $
dove la sommatoria è nell' insieme delle 1994-ple di numeri interi positivi o nulli $ $(n_1,n_2\cdots,n_{1994})$ $ che soddisfano la diofantea

$ n_1+2n_2+3n_3+\cdots+1994n_{1994}=1994 $

(Uffa non riesco ad ingrandire il tex, ma neanche il mio prof... )
Indovinate da che anno ho preso il TST
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[Solo qui sul Forum (e non nel LaTeX uficiale), è sufficiente mettere un $ all'inizio. Invece \[ e \] non sono necessari. Per far lo stesso effetto bastano dei semplici ritorni-a-capo. M.]

Credo che la sezione più adatta per questo quesito sia informatica:mi spieghi come fai a calcolare la somma senza computer?

Se te lo spiegasse, caro samuel, ti darebbe la soluzione dell'esercizio ... cmq per renderlo inadatto alla sezione di informatica, puoi riformularlo mettendo al posto di 1994 un qualsiasi k naturale.

Forse mi sbaglio completamente, ma mi sembra che sapere cos'è un coefficiente multinomiale potrebbe aiutare un pochino nella soluzione ... almeno, credo (aspetto conferma o smentita dall'autore).

Bon continuo a riesumar... e stavolta sarò conciso.

Sia $n$ un intero fissato (nel testo vale 1994).
Sia $A_k$ l'insieme di successioni di naturali (con lo 0) $a_1,a_2,\dots$ tali che:

• $\sum ia_i=n$
• $\sum a_i=k$

Sia $A=\bigcup A_k$.
Sia $f:A\to \mathbb{R}$ che presa una successione $a_1,a_2,\dots \in A$ (quindi definitivamente nulla) restituisce: $ \displaystyle\frac{1}{\prod a_i!} $.
Lemma di un'impressione: $ \displaystyle\sum_{a\in A_k}f(a)=[x^ny^k]\prod_{i=1}^{\infty}\left(\sum_{j=0}^{\infty}\frac{x^{ij}y^j}{j!}\right) $
Dim. Lemma che ricorderemo appena: $ \displaystyle[x^ny^k]\prod_{i=1}^{\infty}\left(\sum_{j=0}^{\infty}\frac{x^{ij}y^j}{j!}\right)=\frac{\binom{n}{k-1}}{k!} $
Dim. Sia $ \displaystyle T=\sum_{a\in A}\frac{f(a)}{\left(\sum (i-1)a_i\right)!} $ (cioè la definizione del testo). Valgono le seguenti uguaglianze:
$ \displaystyle T=\sum_{a\in A}\frac{f(a)}{\left(n-\sum a_i\right)!}=\sum_{k=1}^{n}\sum_{a\in A_k}\frac{f(a)}{(n-k)!} $
E applicando il lemma dell'impressione che ricorderemo appena ottengo:
$ \displaystyle T=\sum_{k=1}^{n}\frac{\binom{n}{k-1}}{k!(n-k)!}=\frac 1{n!}\sum_{k=1}^n\binom{n}{k}\binom{n}{n-k+1} $
E applicando alla fine una più o meno nota identità combinatorica (dimostrabile facilmente combinatoricamente) ottengo:
$ \displaystyle T=\frac{\binom{2n}{n+1}}{n!} $