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Prendiamo un quadrilateo ABCD a lati non paralleli. Prolunghiamo i lati e facciamoli incontrare in D ed E come in figura.



Dimostrare che il quadrilatero ABCD è circoscrittibile ad una circonferenza sse $ EB-FB=ED-FD $

un grazie ad azarus e the_matrix

Simo_the_wolf ha scritto:Dimostrare che il quadrilatero ABCD è circoscrittibile ad una circonferenza sse $ EB-FB=ED-FD $

Se e solo se?
Saluti,
Oblomov

di solito quando si scrive sse con 2 esse si intende se e solo se

1)Sia ABCD circoscrivibile,allora dalla fig.1 si ha:
EA+AQ=EB+BS
FC+CP=FB+RB
Sottraendo e tenendo conto che BS=RB:
EA+AQ-FC-CP=EB-FB
Ovvero(dato che QD=PD):
(EA+AQ+QD)-(FC+CP+PD)=EB-FB e cioe':
ED-FD=EB-FB.

2)Sia ora ED-FD=EB-FB
ESiste certamente (ed anche piu' di una) la circonferenza
tangente ad AB,AD e DC ma esterna (o secante) a BC.Allora,
condotta da E l'ulteriore tangente EC'(vedi fig2) a questa crf. si ha:
EB-FB=ED-FD ,per ipotesi
EB'-FB'=ED-FD per quanto asserito in (1) ,dato che AB'C'D e' circoscritto
alla circonferenza.
Da cui:
EB-FB=EB'-FB' oppure
FB'-FB=EB'-EB e cioe':
B'B=EB'-EB e cio',per note proprieta' dei triangoli,e' impossibile.
Dunque BC non puo' essere esterna alla circonferenza considerata
e poiche' in modo analogo si dimostra che BC non puo' essere
secante ,se ne trae che BC deve essere tangente.Questo termina
la dimostrazione.
P.S. Questa seconda parte mi pare un po' deboluccia.Che ne pensate?
Ciao.