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Siano $ (\mathcal{S}, \mathcal{O}) $ uno spazio topologico ed $ A, B \subseteq \mathcal{S} $. Denotata con $ \mbox{bd}(B) $ la frontiera di $ B $, provare che

i) almeno in generale, $ \mbox{bd}(\mbox{bd}(A)) \neq \mbox{bd}(A) $;

ii) $ \mbox{bd}(\mbox{bd}(\mbox{bd}(A))) = \mbox{bd}(\mbox{bd}(A)) $.

$ bd(\mathbb{Q})=\mathbb{R} $
$ bd(bd(\mathbb{Q}))=\emptyset $

$ bd(A)=\overline{A}\setminus\textrm{int}A $
quindi, se A è chiuso, $ \textrm{int}bd(A)=\emptyset $ da cui la seconda richiesta.