OliForum Matematico

come tutti ben sanno (e se non lo sapevano, ora lo sanno), si può scrivere $ \sum_{i=1}^k x_i^n $ come polinomio nelle funzioni simmetriche elementari ($ \displaystyle s_1 = \sum_i x_i, s_2 = \sum_{i<j} x_ix_j, \dots s_k = x_1x_2\dots x_k $): quello che chiedo di trovare, e' la somma dei coefficienti di tale polinomio.

Somma =+1 per n dispari,Somma=-1 per n pari.
Leandro.

direi che dipende anche da k, non credi?

La richiesta non è chiara, cosa intendi per "trovare"?

Io l'ho intesa cosi':
k=grado del polinomio
$ x_1,x_2,x_3,..,x_k $ =radici del polinomio
n=esponente a cui si vuole elevare le radici.
Faccio un esempio (semplice):
Si voglia $ \sum_{i=1}^k{x_i^2} $.Per note formule risulta
che tale somma S e': S=$ s_1^2-2s_2 $ e la somma dei coefficienti
e' -1 (indipendentemente da k).Nel caso di $ \sum_{i=1}^k{x_i^3} $
risulta invece :S=$ s_1^3-3s_1s_2+3s_3 $ con somma dei coeff.=1.
Dal momento che ma_go dice diversamente ,forse ho sbagliato interpretazione.
Leandro.

No, gli $ x_i $ non sono le soluzioni del polinomio, ma sono le sue variabili.
Ad esempio, con $ n=3 $ e $ k=3 $, il polinomio è
$ x_1^3+x_2^3+x_3^3= $
$ =(x_1+x_2+x_3)^3-3(x_1+x_2+x_3) $ $ (x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1)+3x_1x_2x_3= $
$ =s_1^3-3s_1s_2+3s_3 $.
Quindi in questo caso la somma dei coefficienti del polinomio negli $ s_i $ è $ 1-3+3=1 $.

Edit: corretto un refuso.

@MindFlyer
La tua identita' non e' esatta:l'ultimo termine deve essere $ +3x_1x_2x_3 $.
Resta ancora in piedi la mia interpretazione....aspettiamo cosa dice l'autore.
Ciao
Leandro.

Forse ho sbagliato i contazzi, non me ne stupirei, ma resta il fatto che il problema è da interpretarsi come dicevo...
Leandro, se c'è ancora qualcosa di incomprensibile nel "formalismo" del problema, chiedi pure chiarimenti.
Btw, noto ora che involontariamente ho fatto il tuo stesso esempio numerico, e forse questo ha creato confusione.

Per quanto mi sforzi non vedo la differenza:sara' che non
ho afferrato in pieno la questione.
Comunque mi affido alla competenza di MindFlyer ed aspetto
con curiosita' altre soluzioni.
Ciao.
*Edit*
Preciso che le radici xi di cui parlavo ,non sono le radici del polinomio
in si ma quelle di un ipotetico polinomio (monico) di grado k dato da
(x-x1)(x-x2)...(x-xk).

Leandro ha scritto:Preciso che le radici xi di cui parlavo ,non sono le radici del polinomio
in si ma quelle di un ipotetico polinomio (monico) di grado k dato da
(x-x1)(x-x2)...(x-xk).

Appunto, gli $ x_i $ non sono radici di un polinomio, sono le variabili del polinomio! Come ben sai, un polinomio può avere più di una variabile, ad esempio $ x^2+3xy-yz^2 $ è un polinomio in 3 variabili.

Ok!
Leandro