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i solidi regolari a 3 dimensioni sono 5. Quanti sono i iper solidi regoloari a 4 dimensioni? e a più di 4? dimostrare ciò

Per iper-solidi intendi figure 4d formate da facce tutte uguali oppure formate da solidi tutti uguali??

I "solidi" si chiamano di solito poliedri, altrimenti hai anche sfere, cilindri, coni, etc etc ...

In 4 dimensioni, di solito si chiamano polìcori e in 5 o più polìtopi.

La definizione di "regolare" di solito è induttiva e chiede che le facce (n-1)-dimensionali del solido siano regolari in n-1 dimensioni e tutte congruenti; si aggiunge spesso la richiesta che il solido sia convesso.

Un buon modo per ricordarsi quanti sono i politopi regolari in n dimensioni è il seguente :

TANTI (=infiniti)
CINQUE
SEI
TRE
TRE
....

a partire da tanti, scrivete ogni volta il numero di lettere della parola precedente.
E infatti in 2 dimensioni ci sono infiniti poligoni regolari convessi; in 3 ve ne sono 5, in 4 ve ne sono 6 e da 5 in poi ve ne sono 3.

In 4 dimensioni vi sono :
il 4-simplesso (generalizzazione del tetraedro)
il 16-celle o cross polyotope (generalizzazione dell'ottaedro)
il tesseratto o ipercubo (generalizzazione del cubo)
il 120-celle (generalizzazione del dodecaedro)
il 600-celle (generalizzazione dell'icosaedro)
il 24-celle che è una peculiarità della 4° dimensione

Da 5 in su, rimangono solo i primi 3 :
n-simplesso
n-cross polytope
n-ipercubo

Vi sono anche politopi non convessi e quindi stellati, che vengono fatti rientrare a volte nella definizione di regolare; la stessa definizione può essere resa più precisa, considerando quelle che si chiamano le vertex figures e le edge figures.

Se vuoi qualche informazione più precisa, prova a cercare su internet polytope, polychora e Schlafli (il matematico svizzero che per primo ha studiato sistematicamente i politopi regolari).