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Vecchia ammissione SNS:

Dato $ c=AC $ costruire un triangolo $ ABC $ rettangolo in $ B $ tale che la mediana $ BM $ soddisfi la relazione $ BM^2=AB \cdot BC $.

Per "costruire un triangolo" si intende: esprimere i lati in funzione di $ c $.

Ho che BM=c/2, e quindi, posti AB=x, BC=y, devo risolvere il sistema di equazioni:
$ \left\{\begin{array}{l} {4xy=c^2}\\ {x^2+y^2=c^2} \end{array} \right $

da cui $ (x+y)^2=6xy $.

Detta S la somma, P il prodotto di x e y, so quindi che $ S^2=6P $. Perciò x e y risolvono l'equazione di secondo grado $ t^2-\sqrt{6P}t+P=0 $. Svolgendo i conti, $ x=\frac {\sqrt{6P}+\sqrt{2P}}{2}, y=\frac{\sqrt{6P}-\sqrt{2P}}{2} $. (O viceversa, ovviamente.) E, poiché $ P=\frac{c^2}{4} $, la soluzione del problema è:
$ AB=\frac{c(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{4}; BC=\frac{c(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4} $. O viceversa.