Goodgod ha scritto:come si trova il gruppo di Galois (e cos'è...) di un certo polinomio? ad es.
$ x^4-2 $ oppure $ x^5-3 $
Ciao. Sono un po' arrugginito sull'argomento, quindi le cose che seguono sono coperte da disclaimer: se le leggete, lo fate a vostro rischio e pericolo...
Se tu hai un'estensione di campi (in questo caso, un'estensione algebrica su $ \mathbf Q $), puoi considerare tutti gli isomorfismi del campo esteso che tengano fermi gli elementi del campo di base. Questi formano un gruppo (con l'operazione di composizione di funzioni). E' un oggetto molto interessente per molti motivi, ad esempio perché i suoi sottogruppi sono naturalmente associati ai sottocampi intermedi dell'estensione considerata.
Ora, nel tuo caso le cose non stanno proprio così: tu vuoi il gruppo di Galois di
un polinomio e non di un campo. In quel caso si intende il GdG del
campo di spezzamento del polinomio dato. Il campo di spezzamento è semplicamente il più piccolo campo in cui il polinomio si fattorizza completamente ed è anche il più piccolo campo che contiene le radici del polinomio
Per fare i pignoli fino in fondo, ci sarebbero dei dettagli noiosi da curare, come ad esempio devi immergere il campo in qualcosa in cui le radici esistono, ma lasciamo perdere... insomma, puoi tranquillamente considerare che il campo di spezzamento di un dato polinomio esiste ed è ben definito a meno di isomorfismi.
Ne segue che anche il suo GdG esiste ed è ben definito a meno di isomorfismi.
Come si calcola? Beh, intanto si parte a vedere chi è il campo di spezzamento. Il trucco standard è vedere chi sono le radici e considerare l'estensione che le contiene tutte. Si può vedere che, partendo da un polinomio di grado $ n $, alla peggio trovi un campo di grado $ n! $. Di norma, se il tuo polinomio non fa troppo schifo, però, in verità aggiungendo una radice, ne aggiungi anche altre e quindi il grado effettivo può essere minore.
Svolgo un esempio. $ x^4-2 $. Per semplicità chiamo $ \alpha = \sqrt[4]2 $ (nel senso consueto, il numero reale positivo...).
Sappiamo chi sono le quattro radici: $ \alpha, i\alpha, -\alpha, -i \alpha $.
Questo già ci aiuta. Il C.d.s. è $ K = \mathbf Q[ \alpha, i\alpha, -\alpha, -i \alpha] = \mathbf Q[ \alpha, i] $.
Oh, ora abbiamo dei begli indizi su chi può essere il grado dell'estensione.
Considera la torre $ \mathbf Q \subseteq \mathbf Q[\alpha] \subseteq K $.
Il polinomio dato è di Eisenstein, quindi irriducibile su $ \mathbf Q $. Perciò la prima estensione è di grado 4. La seconda? Si ottiene aggiungendo l'elemnto $ i $, che è notoriamente un elemento quadratico su $ \mathbf Q $. Ci chiediamo: è quadratico anche sul campo intermedio della torre? Se sì, la seconda estensione ha grado 2, e C.d.s. è di grado 8. Se no, la seconda estensione è banale, il campo intermedio coincide con $ K $ e il grado del C.d.s. è 4.
Ora però, è ovvio che il campo intermedio non può coincidere con $ K $ (il primo è contenuto nei Reali, mentre il secondo contiene $ i $).
Ne segue che $ K $ è di ottavo grado. Una proprietà del GdG di un'estensione algebrica finita e normale (come questa) è che l'ordine di GdG è pari al grado. Inoltre l'estensione $ K / \mathbf Q $ contiene una sottoestensione non normale ($ \mathbf Q[\alpha] / \mathbf Q $), per cui il GdG ha un sottogruppo di ordine due (indice 4, pari al grado dell'estensione) non normale.
Mmmmmh... un gruppo finito, non abeliano, di ordine otto... non ci sono molte possibilità: è [isomorfo a]il diedrale $ D_4 $.
Una "rotazione" è data da $ \rho(\alpha) = i \alpha; \rho(i) = i $, mentre una "simmetria" è data dal consueto coniugio dei complessi.