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Siano $ a,b,c $ reali positivi tali che $ a+b+c=1 $

Dimostrare che:

$ \displaystyle 10(a^3+b^3+c^3)-9(a^5+b^5+c^5) \geq 1 $

Mi pare un bel po' calcolosa..sicuramente c'è una soluzione più carina

S=a+b+c
P=abc
Q=ab+bc+ca

Step 1:
$ ab+bc+ca $ = $ ab(a+b+c)+bc(a+b+c)+ca(a+b+c) \ge $ $ abc $ da cui $ Q \ge P $
inoltre $ (a+b+c)^2 $ = $ a+b+c = a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2cb \ge 3(ab+bc+ca) $
per il bunching (o anche per il riarrangiamento ) poichè dopo pochi conti diventa:
$ a^2+b^2+c^2 \ge ab+bc+ca $
per cui $ S =1 $ $ \ge 3Q \ge Q \ge P $

Step 2:
$ a^5+b^5+c^5 $= $ (S^2-2Q)(S^3-3SQ+3P)-(Q^2-2PS)S+PQ $
con S=1 diventa
$ a^5+b^5+c^5 $= $ (1-2Q)(1-3Q+3P)-(Q^2-2P)+PQ $= $ 5Q^2-5PQ-5Q+5P+1 $
inoltre $ a^3+b^3+c^3 $= $ S^3-3SQ+3P $

Step 3:
la tesi si riscrive come:
$ 10(1-3Q+3P)-9(5Q^2-5PQ-5Q+5P+1)\ge 1 $
ovvero dopo pochi conti:
$ 30(P-Q)\ge 45 (P-Q)(1-Q) $ ovvero visto che $ Q\ge P $
$ 30 \leq 45(1-Q) $
$ 3Q\le $ 1 che è vera.

Buona serata. Simone

Ho provato a riprenderla in mano per cercare altre soluzioni ma non ne ho trovate di carine:
Jensen sembrava funzionare ma la derivata seconda di $ f(x)= 10x^3-9x^5 $ è sia positiva che negativa nell'intervallo 0;1.
Probabilmente moltiplicando per S=a+b+c si può omogeneizzare e magari risolverla con il Bunching ma non è una bella idea..


Usando i moltiplicatori di Lagrange invece sembra risolversi.
$ \lambda = 30a^2-45a^4=30b^2-45b^4=30c^2-45c^4 $ da cui:

$ (\frac{2}{3} -a^2-b^2)(a^2-b^2)=0 $
$ (\frac{2}{3} -a^2-c^2)(a^2-c^2)=0 $
$ (\frac{2}{3} -c^2-b^2)(c^2-b^2)=0 $

da cui si ricava facilmente a=b=c oppure due tra a,b,c sono uguali (WLOG b,c) e $ a^2+b^2=\frac{2}{3} $
I candidati massimo/minimo sono quindi: $ (\frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{1}{3}) $ e la soluzione accettabile del sistema tra $ a+2b=1 $ e $ a^2+b^2=\frac{2}{3} $ ovvero $ (\frac{3+2\sqrt{21}}{15};\frac{6-\sqrt{21}}{15};\frac{6-\sqrt{21}}{15}) $.
Verifico a mano che per questi valori la disuguaglianza vale.

Devo ora analizzare i bordi che sono in corrispondenza del valore nullo di una variabile (WLOG c)
$ 10(a^3+b^3)-9(a^5+b^5) \ge 1 $ con a+b=1
ottengo (analogamente a prima)
$ \lambda = 30a^2-45a^4=30b^2-45b^4 $ da cui:
$ (\frac{2}{3} -a^2-b^2)(a^2-b^2)=0 $
e o a=b oppure $ a^2+b^2=\frac{3}{2} $ con a+b=1
All’interno del bordo i candidati punti di massimo/minimo sono quindi:
$ (\frac{1}{2};\frac{1}{2};0) $ e $ (\frac{1+\sqrt{\frac{1}{3}}}{2};\frac{1-\sqrt{\frac{1}{3}}}{2};0) $ che verifico a mano.

Avendo cercato solo i candidati punti di massimo/minimo interni al bordo devo ora cercarli sui vertici della regione del piano a+b+c=1 con $ a,b,c\ge 0 $ (che è un triangolo) in cui la disuguaglianza è definita.
Nei vertici ho due variabili nulle (WLOG b,c) e quindi devo provare a mano il punto (1,0,0).

EDIT:corretta un'imprecisione.

PS sono ancora curioso di sapere se esiste una soluzione carina di questa diseguaglianza

mah alla fine col bunching non è così lunga... moltiplico per omogeneizzare:

$ 10(a^3+b^3+c^3)(a+b+c)^2-9(a^5+b^5+c^5)\geq(a+b+c)^5 $

svolgendo (e ricordando che $ \displaystyle (a+b+c)^5=\sum\limits_{i+j+k=5}\frac{5!a^ib^jc^k}{i!j!k!} $) abbiamo:

$ 5(\sum\limits_{sym}a^5+2\sum\limits_{sym}a^3b^2+4\sum\limits_{sym}a^4b+2\sum\limits_{sym}a^3bc)- $$ \displaystyle \frac{9}{2}\sum\limits_{sym}a^5\geq \frac{1}{2}\sum\limits_{sym}a^5 $$ +5\sum\limits_{sym}a^4b+10\sum\limits_{sym}a^3b^2+10\sum\limits_{sym}a^3bc+15\sum\limits_{sym}a^2b^2c $

semplificando rimane solo

$ 15\sum\limits_{sym}a^4b\geq 15\sum\limits_{sym}a^2b^2c $

che credo si possa fare con AM-GM pesata, ma non credo valga la pena pensarci...è BUNCHING!

se il risultato è semplice sono sempre a favore del bunching, qui l'unico "problemino" è elevare alla quinta il trinomio, ma alla fine non sono troppi calcoli.ciao ciao





ps EDIT: $ a^4c+b^4c\geq2a^2b^2c $ ... non era neache così complicato

pps EDIT2:ho cambiato tutti i $ cycl $ con $ sym $, perchè era quello che dovevo scrivere...

Applicando le disugualianze tra medie di ordine 3 e 5 con la media aritmetica,si ottiene

$ \displaystyle a^3+b^3+c^3\geq\frac{a+b+c}{9}=1/9\displaystyle $

$ \displaystyle a^5+b^5+c^5\geq\frac{a+b+c}{81}=1/81\displaystyle $

Dunque si ha

$ \displaystyle 10(a^3+b^3+c^3)-9(a^5+b^5+c^5)\geq 10*\frac{1}{9}-\frac{9}{81}=1\displaystyle $

Igor, le disuguaglianze non si sommano in quel modo...

semplificando rimane solo

$ 15\sum\limits_{cycl}a^4b\geq 15\sum\limits_{cycl}a^2b^2c $

che credo si possa fare con AM-GM pesata, ma non credo valga la pena pensarci...è BUNCHING!

il bunching si può usare per le somme cicliche?o mi sfugge qualcosa?

Ma la soluzione di Igor è giusta no?

A me sembra proprio di sì.

Igor ha scritto:Applicando le disugualianze tra medie di ordine 3 e 5 con la media aritmetica,si ottiene

$ \displaystyle a^3+b^3+c^3\geq\frac{a+b+c}{9}=1/9\displaystyle $

$ \displaystyle a^5+b^5+c^5\geq\frac{a+b+c}{81}=1/81\displaystyle $

Dunque si ha

$ \displaystyle 10(a^3+b^3+c^3)-9(a^5+b^5+c^5)\geq 10*\frac{1}{9}-\frac{9}{81}=1\displaystyle $

La soluzione di Igor è errata.
Infatti perchè la diseguaglianza sia verificata bisogna sottrarre al minimo valore che può assumere $ \displaystyle 10(a^3+b^3+c^3)\displaystyle $ il massimo (e non il minimo) che può assumere $ \displaystyle 9(a^5+b^5+c^5)\displaystyle $.