mah?sara giusto postarlo qui?
Inviato: 07 dic 2005, 18:41
Immaginiamo di scrivere tutti i numeri da 1 a n. Quante cifre ho scritto in totale?
Grazie
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mah?sara giusto postarlo qui?
Pagina 1 di 1
Inviato: 07 dic 2005, 19:30
Forse dirò una scemenza...in realtà in quello che hai scritto di cifre ce n'è scritta solo una ma se teniamo conto della frase complessivamente allora ognuno di noi potrà immaginare di scrivere n cifre diverse ciscuno!!!
Inviato: 08 dic 2005, 12:42
Ho scritto:immaginiamo di scrivere tutti i NUMERI da 1 a n:ogni numero ha un determinato numero di cifre, quindi quante cifre ho scritto in totale?
Inviato: 08 dic 2005, 14:15
Provo io:
Se voglio scrivere i numeri da 1 a 9 (9 numeri), vorrà dire che avrò 1X9 cifre.
Se voglio scrivere i numeri da 10 a 99 (90 numeri), vorrà dire che avrò 2x90 cifre.
Il ragionamento si ripete per tutti gli n numeri.
Addizionando si avrà quindi:
$ \forall\:n \in \mathbb{N} $
$ 1*9*10^0+2*9*10^1+3*9*10^2+...+n*9*10^n^-^1 cifre $=
$ 9*(1*10^0+2*10^1+3*10^2+...+n*10^n^-^1) cifre $=
$ 9*\sum_{n=1}^{\infty}n*10^n^-^1 cifre $
Spero sia corretta (ed anche di non aver fatto casini con la simbologia).
Se voglio scrivere i numeri da 1 a 9 (9 numeri), vorrà dire che avrò 1X9 cifre.
Se voglio scrivere i numeri da 10 a 99 (90 numeri), vorrà dire che avrò 2x90 cifre.
Il ragionamento si ripete per tutti gli n numeri.
Addizionando si avrà quindi:
$ \forall\:n \in \mathbb{N} $
$ 1*9*10^0+2*9*10^1+3*9*10^2+...+n*9*10^n^-^1 cifre $=
$ 9*(1*10^0+2*10^1+3*10^2+...+n*10^n^-^1) cifre $=
$ 9*\sum_{n=1}^{\infty}n*10^n^-^1 cifre $
Spero sia corretta (ed anche di non aver fatto casini con la simbologia).
Inviato: 20 dic 2005, 20:56
I soluzione (completamento e correzione di quella di Composition86)
Per dare un senso alla risposta di Composition86 occorre innanzi tutto, nel testo, sostituire n con N, numero avente n+1 cifre. La risposta finale è data dalla somma di A (cifre per scrivere i numeri di n+1 cifre fino ad N) e B (cifre per scrivere i precedenti). Il calcolo di A è molto facile e forse per questo è stato dimenticato: considerando compreso anche N, vi sono N+1-$ 10^n $ numeri, quindi A = (N+1-$ 10^n $)(n+1).
La risposta di Composition86 si riferisce al calcolo di B ed è corretta, salvo la scrittura dell’ultima formula (tutte le n vanno sostituite da k o altra lettera non ancora usata e al posto di infinito va scritto n), ma va completata calcolando la somma della penultima riga. Tralasciando per semplicità il fattore 9, questa può essere riscritta come
$ (1+10+...+10^{n-1})+10(1+10+...+10^{n-2}) $+... +$ 10^{n-2}(1+10)+10^{n-1} $
Usando poi la formula per la somma dei termini di una progressione geometrica non è difficile giungere a conclusione.
II soluzione
Per un agevole confronto fra la soluzioni, uso le lettere come indicato in corsivo nella prima soluzione.
Pensiamo di scrivere tutti i numeri da 0 a N compresi, premettendo ad essi gli zeri necessari per fare in modo che tutti abbiano n+1 cifre: otterrò N+1 numeri e quindi (N+1)(n+1) cifre; da queste debbo detrarre il numero degli zeri iniziali. Noto che vi sono $ 10^n $ zeri al primo posto, seguiti da $ 10^{n-1} $ zeri al secondo posto, eccetera, fino all’ultimo zero del numero 0: quindi il numero degli zeri iniziali è $ 10^n + 10^{n-1} +...+ 1 = \frac {10^{n+1}-1} 9 $. La soluzione finale è quindi ($ N+1)(n+1)-\frac {10^{n+1}- 1} 9 $
Per dare un senso alla risposta di Composition86 occorre innanzi tutto, nel testo, sostituire n con N, numero avente n+1 cifre. La risposta finale è data dalla somma di A (cifre per scrivere i numeri di n+1 cifre fino ad N) e B (cifre per scrivere i precedenti). Il calcolo di A è molto facile e forse per questo è stato dimenticato: considerando compreso anche N, vi sono N+1-$ 10^n $ numeri, quindi A = (N+1-$ 10^n $)(n+1).
La risposta di Composition86 si riferisce al calcolo di B ed è corretta, salvo la scrittura dell’ultima formula (tutte le n vanno sostituite da k o altra lettera non ancora usata e al posto di infinito va scritto n), ma va completata calcolando la somma della penultima riga. Tralasciando per semplicità il fattore 9, questa può essere riscritta come
$ (1+10+...+10^{n-1})+10(1+10+...+10^{n-2}) $+... +$ 10^{n-2}(1+10)+10^{n-1} $
Usando poi la formula per la somma dei termini di una progressione geometrica non è difficile giungere a conclusione.
II soluzione
Per un agevole confronto fra la soluzioni, uso le lettere come indicato in corsivo nella prima soluzione.
Pensiamo di scrivere tutti i numeri da 0 a N compresi, premettendo ad essi gli zeri necessari per fare in modo che tutti abbiano n+1 cifre: otterrò N+1 numeri e quindi (N+1)(n+1) cifre; da queste debbo detrarre il numero degli zeri iniziali. Noto che vi sono $ 10^n $ zeri al primo posto, seguiti da $ 10^{n-1} $ zeri al secondo posto, eccetera, fino all’ultimo zero del numero 0: quindi il numero degli zeri iniziali è $ 10^n + 10^{n-1} +...+ 1 = \frac {10^{n+1}-1} 9 $. La soluzione finale è quindi ($ N+1)(n+1)-\frac {10^{n+1}- 1} 9 $
Inviato: 12 gen 2006, 18:15
Forse dirò una scemenza più grande di quella detta in precedenza..
Ma se IMMAGINIAMO.. di srcivere non ne scriviamo NESSUNO !!!
Ma se IMMAGINIAMO.. di srcivere non ne scriviamo NESSUNO !!!
Re: mah?sara giusto postarlo qui?
Inviato: 19 giu 2006, 23:54
Non vorrei che fosse uno di quegli indovinelli autoreferenziali. :pblackdie ha scritto:Immaginiamo di scrivere tutti i numeri da 1 a n. Quante cifre ho scritto in totale?
Grazie
Hai in effetti dato a noi il compito di immaginare, ma la domanda è "quante cifre ho scritto" riferita a te. Quindi la risposta è 1.
Come sono simpatico
