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Per risparmiare tempo, un docente universitario, impegnato attivamente nella gestione, fa degli esami molto sommari. Egli pone allo studente una domanda la cui risposta può essere solo “Vero” o “Falso”: se lo studente risponde esattamente, ha superato l’esame, altrimenti no. Tre amici, per risparmiare tempo pure loro, decidono di presentarsi al primo appello completamente impreparati, provando a rispondere a caso; quelli che non passeranno, torneranno al secondo appello a ritentare la sorte, e così via.
Determinare in frazione la probabilità che almeno uno dei tre amici debba presentarsi al quarto appello.

Potete aiutarmi con questo problema, non so mai come impostare il ragionamento su questo tipo di problemi di probabilità... se contare tutti i casi non favorevoli e fare il complementare o altro.

Per caso proviene da una gara a squadre? mi pare d'averlo già visto questo problema..

Sia P(x) la probabilità che almeno uno dei tre amici debba presentarsi al quarto appello.
Sia A(x) la probabilità che uno studente in particolare debba presentarsi al quarto appello.

La probabilità richiesta è $ P(x) = 3A(x)-3A(x)^2+A(x)^3 $ per il PIE.

Spiego più diffusamente:
la probabilità che almeno uno arrivi al quarto esame è data da:
la somma delle probabilità che uno studente in particolare ci arrivi (indipendentemente dagli altri 2: possono arrivarci o meno) – somma delle probabilità che ci arrivi almeno una data coppia (indipendentemente dal terzo) + la probabilità che ci arrivino in 3.

La probabilità che ci arrivi una coppia data è $ A(x)^2 $ e le coppie sono 3.
La probabilità che ci arrivino tutti e tre è $ A(x)^3 $.
Questo perchè la probabilità congiunta di eventi indipendenti è il prodotto delle probabilità dei singoli eventi.

Ora calcolo $ A(x) = \frac{1}{2^3} $ poiché in ciascun esame la probabilità di non passare è $ \frac{1}{2} $ e gli esami da non passare sono 3 per presentarsi al quarto appello.
Ottengo quindi: P(x)= $ \frac{3}{2^3} - \frac{3}{2^6} + \frac{1}{2^{9}} $= $ \frac{2^6*3-2^3*3+1}{2^9}=\frac{192-24+1}{512}=\frac{169}{512} $

Buona serata. Simone