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Siano $ x $ ed $ y $ due interi positivi, mostrare che $ 3x^2+4y^2 $ e $ 4x^2+3y^2 $ non possono essere entrambi quadrati perfetti

Per assurdo, esistano x, y, a, b \in Z^+ t.c. 3x^2 + 4y^2 = a^2 e 4x^2 + 3y^2 = b^2. Wlog, possiamo assumere gcd(x,y) = 1. Allora a^2 + b^2 = 0 mod 7, e perciò a forza 7 | gcd(a,b). Di conseguenza x^2 - y^2 = 0 mod 7^2. Da qui x^2 = 0 mod 7, e quindi gcd(x,y) \ge 7, assurdo!