OliForum Matematico

Forse a scuola dormivo, oppure il professore si è sognato di avere fatto questa cosa e io non me la ricordo (ma in classe nessuno la ricorda )... Qualcuno mi spiega brevissimamente il moto armonico di una molla con attaccato un corpo in un piano orizzontale senza attrito che fa avanti e indietro? In particolare, come si trova il tempo che ci mette a fare avanti e indietro?

[Magari è una scemata, non ci ho neanche pensato veramente, perchè adesso sto ripassando tutto il programma dell'anno scorso in tre giorni per le olimpiadi ]

E' semplice, basta che risolvi l'equazione differenziale:

$ m \frac{d^2 \vec s}{d t^2} = - k \vec s $

Dimenticavo, se la molla stessa ha massa ricordati di integrarla nello svolgimento dei conti.

Uhm... se Pigkappa per caso non sapesse niente del calcolo integrale (non si sa mai) riscrivo la sol così:

ma=-ks

(Infatti, per la legge di Hooke F=-ks, dove s è lo spostamento e k la costante elastica della molla)

Da questo, risolvendo (cosa che spesso a scuola non si fa per mancanza di conoscenze del calcolo integrale) viene fuori che:

$ s(t)=A \cos (\omega t + \phi) $

Dove $ \displaystyle \omega = \sqrt{-\frac{k}{m}} $ e $ \phi $ dipende dalla posizione iniziale della molla (credo che tu possa trascurarla ma non si sa mai...)

Ah, inoltre (come si può calcolare facilmente con il principio di conservazione dell'energia) l'energia complessiva vale $ E=\frac{1}{2} k A^2 $, mentre l'energia elastica in ogni istante vale $ E= \frac{1}{2} k s^2 $


(Dimenticavo, A è lo spostamento massimo )

Se ben ricordo c'è anche una dim elementare (senza integrali) della formula s(t), basta considerare, come è noto, il moto armonico come la proiezione di un moto circolare uniforme su un diametro; comunque è alquanto calcolosa.
Ciao