OliForum Matematico

Fonte: prova di ammissione SNS 1990.

$ \sin (x+y) = \sin x +\sin y $

Io non sono riuscito a trovare le soluzioni . Mi aiutate?

Edit: Aveva ragione herbrand, questo viene dall'ammissione 1990 e non 1994.

hint: prostaferesi e duplicazione

E' standard ma non mi sembra che venga dalle prove di ammissione, di sicuro non dal 1994!

Diventa

$ \displaystyle \sin\alpha\cos\beta + \sin\beta\cos\alpha = \sin\alpha + \sin\beta $

Con le formule parametriche di seno e coseno in funzione di $ \displaystyle \tan\frac {x}{2} $ equivale a

$ \displaystyle \frac {2t}{1+t^2}\cdot \frac {1-z^2} {1+z^2} + \frac {2z}{1+z^2}\cdot \frac {1-t^2}{1+t^2} $ $ \displaystyle =\frac {2t}{1+t^2} + \frac {2z}{1+z^2} $, con $ \displaystyle t =\tan \frac {\alpha}{2} \wedge \alpha \neq \pi + 2k\pi $ e
$ \displaystyle z=\tan\frac {\beta}{2} \wedge \beta\neq \pi+2k\pi, \ \ k\in N $.

Si arriva a

$ \displaystyle 4tz^2 = -4t^2z $

$ \displaystyle z=-t , \ \ \ t \wedge z \neq 0 \Longrightarrow \alpha \wedge \beta \neq 2k\pi, \ \ \ \ \ \tan\frac {\alpha}{2} = -\tan \frac {\beta}{2} $ $ \ \ \ \Longrightarrow \alpha = - \beta $.

PS: Ho scordato che le variabili fossero $ \displaystyle x $ e $ \displaystyle y $ ed ho usato $ \displaystyle \alpha $ e $ \displaystyle \beta $

Edit: Aveva ragione herbrand, questo viene dall'ammissione 1990 e non 1994

non è neanche del 1990 e comunque a me sembra un esercizio (scrivi il testo e la consegna ESATTI please) adatto a chi abbia appena appreso il significato di SENO!

http://www.mathlinks.ro/Forum/topic-33665.html

herbrand, sono sicurissimo che il problema venga dall'ammissione 1990! Magari a te non risulta perché si tratta della prova di ammissione per chimica, biologia etc. ma io non ho mai detto che era per l'ammissione a matematica, fisica etc.

herbrand, sono sicurissimo che il problema venga dall'ammissione 1990! Magari a te non risulta perché si tratta della prova di ammissione per chimica, biologia etc. ma io non ho mai detto che era per l'ammissione a matematica, fisica etc

Hai ragione , viene da chimica..., chiedo venia
Per peppeporc : ciò che hai scritto mi sembra giusto però credo si veda subito che per $ \alpha=-\beta $ l' uguaglianza è valida

in ogni caso non credo che x=-y siano le sole soluzioni: pre esempio con x=0 e y= quello che vuole o viceversa si hanno soluzioni...

Hai ragione, ho escluso dei valori che in effetti non influiscono nello stesso modo della parametrica, sull'equazione di partenza.
Unendo i domini delle parametriche, si ottiene
$ \displaystyle \alpha \wedge \beta \neq 2k\pi $, considero i casi di uguaglianza e verifico che per $ \alpha = 2k\pi $, va bene ogni valore di $ \beta $ e viceversa.