OliForum Matematico

1) Prova che, per ogni intero positivo n,
 
 121^n-25^n+1900^n-(-4)^n
 
 è divisibile per 2000.
 
 2)ho 4 bambini. l\'età di ciascuno è un intero positivo tra 2 e 16 inclusi e tutte le età sono diverse tra loro. un anno fa il quadrato dell\'età del più vecchio era uguale alla somma dei quadrati delle età degli altri 3. tra un anno la somma dei quadrati delle età del più vecchio e del più giovane sarà uguale alla somma dei quadrati degli altri due bambini.
 Vedere se tali informazioni sno sufficienti per determinare le età, e trovare tutte le possibilità.
 
 
 3) un triangolo ABC ha (ANGOLI) BAC>BCA. Una retta AP è di segnata in modo tale che (angoli)PAC=BCA dove P è all\'interno del triangolo. un punto Q fuori del triangolo è tale che PQ è parallelo ad AB e BQ è parallelo ad AC. R è il punto su BC (separato da Q dal segmento AP) tale chr (angoli)PRQ=BCA.
 Prova che il circocentro (circumcircle) di ABC tocca il circocentro di PQR.
 
 <IMG SRC="images/splatt_forum/icons/icon_confused.gif"> CHE FATICACCIA

circumcircle è il cerchio circoscritto, quindi immagino che la tesi sia che i due cerchi circoscritti (PQR e ABC) sono tangenti

1) L\'espressione dev\'essere divisibile per 125*16
 121==-4 mod 125 quindi il primo e l\'ultimo termine si elidono. gli altri due sono 25^n(76^n-1) che è divisibile per 125 se n > 1 perché allora 125 divide 25^n. Altrimenti è divisibile per 125 lo stesso come si può verificare facilmente.
 121==9==25 mod 16 quindi i primi due termini si elidono. Resta (-4)^n*(-475^n-1), analogamente a sopra.
 Ciao [ Questo Messaggio è stato Modificato da: DD il 2002-06-14 15:17 ]

2000=2^4*5^3
 per n=1 si verifica che è vera
 se n>1 si ha che:
 121^n == (-4)^n (mod 125)
 25^n == 0 (mod 125)
 1900^n == 0 (mod 125)
 (-4)^n == (-4)^n (mod 125)
 perciò l\'espressione è sicuramente divisibile per 125.
 121^n == (-7)^n (16)
 25^n == (-7)^n (16)
 gli altri due sono divisibili per 16
 e quindi anche l\'espressione è divisibile per 16.
 In conclusione tutta l\'espressione è divisibile per 16*125=2000.
 N.B. 16 e 125 sono primi tra loro

sei stato un po più veloce di me non avevo visto che avevi risposto <IMG SRC="images/splatt_forum/icons/icon_frown.gif">

3) chiamiamo c(x) la crf circoscritta alla figura x, alfa l\'angolo BAC, e T l\'intersezone tra BP e CQ. Allora < BTC=alfa perché alterni interni e < PRQ=alfa per costruzione, dunque T appartiene a c(ABC) perché vede BC sotto un angolo alfa, come A, e T appartiene a c(PQR) perché vede PQ sotto un angolo alfa, come R.
 Fin qui abbiamo dimostrato che le circonferenze \"si toccano\", ma credo che si richieda anche di dimostrare che T è l\'unico punto in cui si toccano (in effetti nel mio disegno sono abbastanza tangenti), ci devo pensare [ Questo Messaggio è stato Modificato da: DD il 2002-06-16 20:37 ]

2)4 bambini di età compresa tra 2 e 16 e tutte diverse tra loro: 2<=x<y<z<t<=16
 Sviluppando un po\' si trova:
 x^2+1=2(y+z-t)
 quindi x deve essere dispari ed inoltre essendo max(y+z-t)=14+15-16=13
 x^2<=2*13-1=25 quindi x=3 oppure x=5
 Per x=3 y+z-t=5
 Per x=5 y+z-t=13
 Dalla prima si ricava y+z=t+5 ed inoltre con qualche passaggio sulle equazioni di partenza: yz=5t+10
 L\'equazione di 2°grado corrispondente:
 m^2-sm+p=0
 m^2-(t+5)+(5t+10)=0 dovendo avere il discriminante >=0 porta a t>=12
 Quindi t=12, 13, 14, 15, 16 andrebbero bene. Però solo per t=12 e t=16 le soluzioni per y e z sono intere.
 Quindi x=3, y=7, z=10, t=12 e
 x=3, y=6, z=15, t=16 sono soluzioni valide del problema.
 Per x=5 si trova che t dovrebbe essere >=30 quindi non accettabile.
 Se non ho trascurato qualcosa dovrebbero dunque essrerci soltanto le due soluzioni indicate.
 <IMG SRC="images/splatt_forum/icons/icon_wink.gif">

Ho dei gravi problemi ad interpretare il testo del quesito 3). Se quello che ho capito io è giusto, allora la tesi è falsa.
 
 <IMG SRC="images/splatt_forum/icons/icon24.gif">
 
 Maus, potresti riportare il testo originale?
 Grazie.[addsig]

Certo:
 
 A triangle ABC has <BAC><BCA. A line AP is drawn so that <PAC=<BCA. A point Q outside the triangle is constructed so that PQ is parallel to AB, and BQ is parallel to AC. R is the point of BC such that <PRQ=<BCA. Prove that the circumcircle of ABC touches the circumcircle of PQR.
 
 
 
 Ciao.<IMG SRC="http://www.signoredeglianelli.org/img_new/druid.gif">

Mi dispiace, non riesco a scriverlo in nessun modo; te lo invierò via e_mail.

Potresti togliere quei fastidiosissimi HTML e BBCode...[addsig]

Se quello che io ho capito è giusto la tesi è vera, Cinderella me le dà tangenti

Ehm... Posso chiederti cos\'hai capito??

Che c(PQR) è tangente a c(ABC)

Ok, ci sono (sono un po\' tardo, scusate). Però credo che tu, DD, abbia fatto qualche casino nell\'indicare i vertici del triangolo di partenza. Se sostituisci A --> C, B --> A e C --> B, funziona tutto.
 In ogni caso, ecco come lo risolverei io: sia T l\'intersezione tra le rette AP e BQ. Come ha dimostrato DD, <BTA = <TAC = <BCA, quindi T appartiene a c(ABC) perchè vede AB sotto lo stesso angolo di C. Inoltre, T appartiene a c(PQR), perchè vede PQ sotto lo stesso angolo di R. Quindi c(ABC) e c(PQR) hanno un\'intersezione in T, e resta da far vedere che non ce ne sono altre... se non sbaglio eravamo arrivati qui.
 Ora, notiamo che c(ABC) = c(ABT), e che c(PQR) = c(PQT). Le due circonferenze sono individuate rispettivamente dai triangoli ABT e PQT, che sono simili perchè AB e PQ sono paralleli. Quindi esiste un\'omotetia centrata in T che trasforma ABT in PQT. Quest\'omotetia trasforma anche c(ABT) in c(PQT), e visto che l\'unico punto unito di un\'omotetia (diversa dall\'identità) è il centro, abbiamo che l\'unica intersezione tra c(ABT) e c(PQT) è appunto T.
 
 <IMG SRC="images/splatt_forum/icons/icon21.gif">
 
 [addsig]

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