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Sapete trovare infiniti punti su $ x^2+y^2=1 $ in modo che la distanza tra ogni coppia di punti sia razionale?

Siano O l’origine, $ A_1, A_2, A_3, \lddots $i punti cercati (presi girando sempre nello stesso verso per un numero illimitato di giri) e $ A_1OA_2=2 \alpha_1, A_2OA_3=2 \alpha_2 $, eccetera. Per il teorema della corda (valido in valore assoluto anche per angoli superiori all’angolo giro), le distanze fra i vari punti sono il doppio del seno di una $ \alpha_i $ o di una loro somma; affinché siano razionali è quindi sufficiente che tutte le $ \alpha_i $ abbiano seno e coseno razionali. Chi conosce le terne pitagoriche attribuirà al seno e coseno (in qualsiasi ordine) i valori $ \frac{u^2-v^2}{u^2+v^2} $ e $ \frac{2uv}{u^2+v^2} $, con u, v interi; chi non le conosce può pensare ai numeri $ \frac35 $ e $ \frac45 $ oppure a $ \frac{12}{13} $ e $ \frac5{13} $. Le varie $ \alpha_i $ possono essere diverse fra loro; per semplicità e ad evitare il dubbio di ricadere sugli stessi punti le si può prendere uguali, accettando il valore arcsin $ \frac 35 $, che si considera incommensurabile con l’angolo giro. A proposito: qualcuno sa dirmi in breve se questa incommensurabilità è dimostrata o postulata?

Detti P e P' i punti in questione e la distanza tra essi d

Per il teorema delle secanti applicato al triangolo PP'O nella circonferenza goniometrica di centro O si ha:

$ \frac{1}{sin(\alpha)} = \frac{d}{sin(\beta)} $ poichè

$ \beta= \pi-2\alpha $
otteniamo $ d= \frac{sin(2\alpha)}{\alpha} $
$ sin(2\alpha)= 2cos(\alpha)sin(\alpha) $

quindi$ d=2cos(\alpha) $

esistono infiniti $ \: \:\alpha \:\: $che soddisfano l'equazione

considero poi P e P' in coordinate polare e dovrebbe essere dimostrato.

Per favore qualcuno potrebbe corregermi la soluzione, non mi piace affatto!

evans ha scritto: Per favore qualcuno potrebbe corregermi la soluzione, non mi piace affatto!

Ecco qualche correzione:
errori lievi
1) il teorema de te usato non è "delle secanti" ma "dei seni"
2) nei triangoli isosceli di solito si preferisce usare i teoremi sui triangoli rettangoli; la tua formula finale era ottenibile molto più rapidamente considerando il triangolo OHP, essendo H il punto medio di PP'
3) in una formula hai scritto $ \alpha $ anzichè sin $ \alpha $
errore grave
Non hai dimostrato la tesi. Anche ammettendo che tu abbia pensato "do valori razionali a cos $ \alpha $" (avresti però dovuto dirlo), il problema parla di "ogni coppia"; in altre parole, dopo aver preso due punti P' e P" con distanza razionale da P, sei sicuro che anche P'P" sia razionale? E quando consideri tre o più punti?

gianmaria ha scritto:arcsin $ \frac 35 $, che si considera incommensurabile con l’angolo giro. A proposito: qualcuno sa dirmi in breve se questa incommensurabilità è dimostrata o postulata?

Che vuol dire incommensurabile? Irrazionale? Beh, comunque un corollario al teorema di Lindemann-Weierstrass dice che arcsin(3/5) è trascendente.

Sì, direi che incommensurabile vuol dire irrazionale ...

....tutto da rifare!

Se non ricordo male, due grandezze si dicono incommensurabili se il loro rapporto non è razionale. Ad esempio i numeri 5$ \pi $e 7$ \pi $sono trascendenti, ma commensurabili fra loro. Quindi, pur ringraziando Marco per l'attenzione, debbo dirgli che non ha pienamente risposto alla domanda.

gianmaria ha scritto:Quindi, pur ringraziando Marco per l'attenzione, debbo dirgli che non ha pienamente risposto alla domanda.

La domanda era OT, sia rispetto al thread che rispetto alla categoria del forum.
Ti consiglio di ripostarla in MNE.