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Abbiamo un imbuto che ruota intorno al proprio asse di simmetria (verticale). Dentro l'imbuto c'è una piccola massa appoggiata a una parete dell'imbuto a distanza $ r $ dall'asse di rotazione. La parete dell'imbuto è inclinata di $ \alpha $ rispetto all'orizzontale. Il coefficiente d'attrito è $ \mu > 0 $.

Si determinino i valori di $ \omega $ per cui la massa rimane nella sua attuale posizione.
Esiste uno specifico valore di $ \alpha $ per cui esiste un solo valore di $ \omega $ che soddisfi la precedente condizione?

Uso due versori: $ \hat i $ per vettori paralleli al lato dell'imbuto e $ \hat o $ per vettori ortogonali a questo lato.
La forza peso dell'oggetto è $ m g $, di cui la componente $ m g \sin \alpha \hat i $ sarà libero mentre $ m g \cos \alpha \hat o $ sarà la forza premente.
A queste forze si aggiunge la forza dovuta alla rotazione che verrà esercitata dall'imbuto sull'oggetto (forza centripeta $ F_c = \omega ^2 \cdot x \cdot m $) di cui avremo componente $ F_c \cos \alpha \hat i $ e $ F_c \sin \alpha \hat o $.
A questo punto senza soffermarmi sui conti direi che $ \mu = | \frac {\sum { F \cdot \hat i}} {\sum { F \cdot \hat o}} | $.
Si sostituiscono le forze e si risolve l'equazione in omega, per il secondo punto basta studiare l'andamento delle soluzioni al variare di alpha (se l'equazione è di secondo grado vedere dove il discriminante è zero, etc...).