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Prendiamo tre stuzzicadenti uguali, lunghi $ l $, e incolliamoli a formare la lettera H. Teniamo questa struttura in posizione orizzontale, poi lasciamola ruotare tenendo fisso sul proprio asse uno degli stuzzicadenti paralleli.

Determinare $ \omega $ quando la struttura è in posizione verticale (ovvero dopo che ha ruotato di 90°).

Non capisco lo stato iniziale. Orizzontale rispetto a cosa?

Provo ad ipotizzare una soluzione energetica.
L'energia potenziale in posizione orizzontale dev'essere un punto di massimo nel grafico dell'energia potenziale in funzione della posizione di quel coso.
A questo punto penso che si faccia integrando il potenziale di tutti i punti ed ottenendo così la variazione di energia.

Nota: pongo la lunghezza delle stecche pari a 2l.

Per la singola stecca abbiamo potenziale di $ 2 l^2 $ in posizione orizzontale, e di $ \int_0^{2l}x dx = 2 l^2 $ in posizione verticale (ovviamente questi valori devono essere moltiplicati per g e per la massa lineare della stecca), i potenziali sono calcolati in base al punto di minimo in posizione verticale.
Presumo a questo punte che in condizione ideale il potenziale sia uguale ovunque.
Supponiamo che il fulcro non sia esattamente al centro ma leggermente spostato da una parte, a questo punto avremo che il potenziale minore è sì in posizione verticale.

Mi sa che non hai capito il testo, c'è una sol molto molto + facile di tutti codesti integrali!
Spiego il testo: costruisco questa struttura ad H con tre barre uguali, poi la tengo in orizzontale rispetto al terreno e da questa posizione la lascio ruotare di 90°, tenendo fissa sul proprio asse una delle barre parallele, finchè l'H non è in verticale. All'inizio della rotazione è ferma, alla fine ha una certa vel. angolare. Determinarla.

Comunque la strada energetica è ovviamente quella giusta... ma bastano i soliti metodi!

Allora è molto più facile di quanto pensassi... ripeto il mio procedimento per il tuo modello ed è fatta.

Anche senza integrali, magari... basta sapere che il momento d'inerzia di una sbarra che ruota attorno a un asse a lei perpendicolare passante per il centro della sbarra stessa è $ \frac{ML^2}{12} $.

In effetti la difficoltà maggiore sta nel calcolare il momento d'inerzia...Se si trascura il raggio di uno stuzzicadente rispetto alla sua lunghezza allora il momento d'inerzia dell'intera struttura rispetto a uno dei stuzzicadenti paralleli è:
$ I = 0 + \left( {0 + mL^2 } \right) + \left( {\frac{1}{{12}}mL^2 + \frac{1}{4}mL^2 } \right) = \frac{4}{3}mL^2 $
A questo punto basta applicare il principio di conservazione:
$ \frac{1}{2}I\omega ^2 = 3mg\frac{L}{2} $

Esatto.

Ciao, ho provato a farlo ( senza pensare minimamente ad integrare qualcosa..... ) e ho fatto lo stesso di Cu Jo ma la conservazione dell'energia potenziale è diversa, nel senso che 1/2Iw^2=3mgl non 3/2mgl infatti la sbarretta verticale si abbassa di quota l e quella orizzontale di 2l. Bho...

NN ho capito cosa intenti per sbarretta verticale e orizzontale...Cmq mi pare di capire ke hai assunto $ 2l $ come lunghezza degli stuzzicadenti.Allora i tuoi calcoli sono giusti(anke se va modificato il momento d'inderzia).L'importante cmq è calcolare l'energia potenziale riferendosi al centro di massa...