Aiuto su una dimostrazione
Inviato: 28 dic 2005, 19:59
Spostato in Matematica non elementare. Francesco
Ciao è la prima volta che posto su questo forum quindi scusatemi se commetterò qualche errore!
Cmq ho questo problema:
volevo cercare una dimostrazione del fatto che il 26 sia l'unico intero compreso tra un quadrato (25) e un cubo (27).
Ora io ho trovato su internet la seguente dimostrazione:
PROBLEMA DEL 26 ( FERMAT)
Luigi Annunziata
IL PROBLEMA DI TROVARE UN INTERO CHE STIA TRA UN CUBO E UN QUADRATO LO SI PU0 ‘ RISOLVERE ANCHE CON QUESTA EQUAZIONE :
X^3 –1 = ( X + K )^2 +1 CON K = 1,2,3….( INTERO POSITIVO)
DA CUI SI HA :
X^3 –X^2 –2*K*X – K^2 –2 = 0
VOGLIAMO CAPIRE QUALI VALORI PUO’ ASSUMERE LA RADICE Xo CON K INTERO POSITIVO E IN PARTICOLARE IN CHE MODO SI POSSONO AVERE SOLUZIONI INTERE.
DALLE FAMOSE RELAZIONI TRA I COEFFICIENTI E LE RADICI DI UN’EQUAZIONE POLINOMIALE ABBIAMO CHE :
X1 +X2 +X3 = +1 ( OPPOSTO DEL COEFFICIENTE DI X^2 )
X1*X2 + X1*X3 + X2*X3 = -2*K ( COEFFICIENTE DI X)
X1*X2*X3 = +K^2+2 ( OPPOSTO DEL COEFFICIENTE NOTO )
SAPPIAMO CHE UN’EQUAZIONE DI TERZO GRADO O AMMETTE UNA RADICE REALE E DUE COMPLESSE CONIUGATE , OPPURE TRE RADICI REALI.
PER COSTRUZIONE DEL PROBLEMA ESSA DOVRA’ AMMETTERE SOLO UNA RADICE REALE SE NO SI AVREBBE L’ASSURDO DI AVERE TRE SOLUZIONI REALI AD UN DETERMINATO PASSO K .
QUESTO COMUNQUE LO SI PUO’ VEDERE CHIARAMENTE CON LO STUDIO DEL DISCRIMINANTE DELL’EQUAZIONE DI TERZO GRADO :
D = (q^2)/4 + (p^3)/27 con q= -k^2 – (2/3)*k –56/27 e p = -2*k –1/3
si vede chiaramente che ( (-k^2 –(2/3)*k –56/27)^2 ) /4 +( ( -2*k –1/3 )^3)/27 e’ una
quantità maggiore di zero per k >0 .
LA NOSTRA EQUAZIONE RISULTA QUINDI CARDANICA ( AMMETTE UNA SOLA RADICE REALE).
INOLTRE DATO CHE IL COEFFICIENTE NOTO E’ NEGATIVO ALLORA LA RADICE REALE E’ POSITIVA .
E :
1) - DAL COEFFICIENTE DI X^2 (-1) SI DEDUCE CHE :
Xo + (A+iB) + (A-iB) = 1
DUNQUE Xo +2A = +1
ORA DATO CHE 2A E’ PARI ALLORA Xo E’ DISPARI
PRIMA CONCLUSIONE A CUI SIAMO PERVENUTI E’ CHE SE ESISTE LA RADICE INTERA ESSA E’ DISPARI.
2) - STUDIAMO IL COEFFICIENTE DI X (-2*K)
-2*K = Xo ( A+ib) + Xo(A-ib) + (A^2 + B^2)
-2*K = Xo*A + Xo*A + ( A^2 + B^2)
-2*K = 2*Xo*A + ( A^2 + B^2)
DA QUESTA RELAZIONE SI DEDUCE CHE ESSENDOO –2*K UN NUMERO PARI, 2*XoA ANCH’ESSO PARI , ( A^2 + B^2 ) DEVE ESSERE UN NUMERO PARI .
SECONDA CONCLUSIONE A CUI SIAMO PERVENUTI E’ CHE IL PRODOTTO
DELLE DUE RADICI COMPLESSE ( CHE SAPPPIAMO CHE E’ UN NUMERO
REALE ) SE E’ INTERO , DEVE ESSERE UN NUMERO PARI.
3) - STUDIAMO ADESSO IL COEFFICIENTE NOTO :
-K^2 –2 = Xo * ( A^2 + B^2 ) ( PRODOTTO DELLE TRE RADICI )
SAPPIAMO CHE Xo E’ UN INTERO DISPARI E ( A^2 +B^2) UN INTERO PARI ,
ALLORA ESSENDO IL PRODOTTO DI UN DISPARI PER UN PARI , UN NUMERO
PARI , CONSEGUE :
-K^2 –2 , PARI E QUINDI K^2 E’ PARI CIOE’ IN DEFINITIVA K E’ UN
NUMERO PARI.
ABBIAMO TROVATO DALLO STUDIO DELL’EQUAZIONE CHE :
1) LA RADICE Xo SE E’ INTERA ESSA E’ DISPARI POSITIVA
2) IL PRODOTTO DELLE DUE RADICI COMPLESSE CONIUGATE SE E’ INTERO ESSO E’ UN NUMERO PARI
3) K DEVE ESSERE PARI PER RADICI INTERE
UN’ALTRA CONSIDERAZIONE CI PORTA AD AFFERMARE CHE A E B DEVONO
ESSERE ENTRAMBI DISPARI ( OVVIAMENTE SE SONO ENTRAMBI INTERI)..
DA P^2 +2 = D*2*d POSSIAMO RICAVARE DIVIDENDO TUTTO PER DUE
ANCORA UN’EGUAGLIANZA
Pp +1 = D*d NON C’E’ NESSUNA CONTRADDIZIONE IN QUESTO
MA SE A E B FOSSERO PARI SI HA :
P^2 +2 = D*2*p E DIVIDENDO PER DUE NON OTTERREMMO PIU’
UN ‘ EGUAGLIANZA
Pp +1 = D*P UN DISPARI NON PUO’ ESSERE UGUALE AL PRODOTTO
DI UN DISPARI PER UN PARI
AL PRIMO MEMBRO Pp E’ ANCORA UN PARI DATO CHE UN NUMERO PARI
ELEVATO AL QUADRATO QUANDO LO SI DIVIDE PER DUE RESTA UN NUMERO
PARI .
COMUNQUE QUESTO ULTIMO DISCORSO NON E’ ESSENZIALE AI FINI DELLA DIMOSTRAZIONE FINALE.
ORA ABBIAMO CHE DAL COEFFICIENTE NOTO ( OPPOSTO) :
( K^2 +2) / Xo = ( A^2 +B^2 )
E ( K^2 +2 ) / ( A^2 +B^2 ) = Xo
CON Xo E (A^2 +B^2 ) O ENTRAMBI INTERI O ENTRAMBI IRRAZIONALI
CON Xo DISPARI MA DI QUESTA SPECIE : 3, 7, 11, 15 ,….
CIOE’ Xo = 3 + 4N CON N=0,1,2,3….
E IN QUESTO MODO SI PUO’ AVERE A = 1,3,5,… CIOE’ UN NUMERO DISPARI IL CUI DOPPIO E’ INFERIORE DI UN’UNITA’ ( VEDASI COEFFICIENTE DI X^2) RISPETTO AD Xo.( SOLO PER A NON SI NESSUN DUBBIO CHE ESSO E’ INTERO SE Xo E’ INTERO)
CIOE’ POTREBBERO ESSERE SOLUZIONI INTERE DELL’EQUAZIONE SOLO ED ESCLUSIVAMENTE COMBINAZIONI DI QUESTO TIPO :
3 CON 1 E 1 IL PRIMO NUMERO E’ Xo .
7 CON 3 E 3
ECC. ECC.
SE NOI OSSERVIAMO UN ‘ ATTIMO LA RADICE INTERA 3 CHE SCATURISCE CON
K=2 SI VEDE CHE A=1 ( IL CUI DOPPIO E’ INFERIORE DI UNO RISPETTO AD Xo ) .
E ADESSO NON CI RESTA DA STUDIARE CHE UNA DI QUESTE DUE :
1)- (K^2+2) / Xo = (A^2+B^2)
2)- (K^2+2) / ( A^2+B^2) = Xo
RELAZIONI CON QUANTITA’ BEN DEFINITE .
A MIO PARERE CREDO CHE SIA PIU’ SEMPLICE DA STUDIARE UNA DI QUESTE DUE RELAZIONI PIUTTOSTO CHE LA SEGUENTE : A^3 = B^2 +2
RIPRENDIAMO ALLORA LA SECONDA RELAZIONE : (K^2+2)/(A^2+B^2)=Xo
OSSIA : (K^2+2) = (A^2+B^2) * Xo
VEDIAMO CHE IL TERMINE NOTO (K^2+2) E’ IL PRODOTTO IN DEFINITIVA
DI UN NUMERO PARI (A^2+B^2) PER UN NUMERO DISPARI (Xo) .
PER K = 2 ABBIAMO CHE (A^2+B^2) = 2 E Xo = 3.
E PER K > 2 COLL’ESISTENZA DI UN’ALTRA RADICE INTERA Xo >3 SI DOVRA’
AVERE PER FORZA ANCHE UN ALTRO VALORE INTERO DI : (A^2+B^2) , VALORE CHE
DEVE ESSERE MAGGIORE DI DUE .
IL CHE E’ IMPOSSIBILE DATO CHE (K^2+2) PUO’ ESSERE SCISSO SOLO IN QUESTO
MODO : 2 * D ,
CIOE’ L’UNICO PARI CHE RISULTA DIVISORE DI ESSO E’ IL NUMERO DUE .
.
CIOE’ SE PROVIAMO A DIVIDERE PER DUE IL TERMINE NOTO ( COSA POSSIBILE
DATO CHE ESSO E’ UN INTERO PARI PER K PARI ), RISULTA QUESTO :
(K^2)/2 + 2/2 = Pp +1 ( Pp S’INTENDE UN ULTERIORE NUMERO PARI )
Pp +1 E’ EVIDENTEMENTE UN INTERO DISPARI .
ALLA FINE ABBIAMO CHE IL TERMINE NOTO PER K>2 RISULTA UN PRODOTTO DEL
NUMERO DUE PER UN NUMERO DISPARI ( PER NUMERO DISPARI S’INTENDE
ANCHE IL PRODOTTO DI PIU’ NUMERI DISPARI).
E DATO CHE PER K>2 , (A^2+B^2) DEVE ESSERE MAGGIORE DI DUE ( IN EFFETTI
RISULTA ANCHE MAGGIORE DI Xo, LO SI VEDE CHIARAMENTE DALLO STUDIO DEL
COEFFICIENTE DI X^2) , CONSEGUE CHE NON CI SONO RADICI INTERE PER K>=4
COME VOLEVASI DIMOSTRARE.
Ma a me non torna la seguente parte della dimostrazione:
1)DAL COEFFICIENTE DI X^2 (-1) SI DEDUCE CHE :
Xo + (A+iB) + (A-iB) = 1
DUNQUE Xo +2A = +1
ORA DATO CHE 2A E’ PARI ALLORA Xo E’ DISPARI
PRIMA CONCLUSIONE A CUI SIAMO PERVENUTI E’ CHE SE ESISTE LA RADICE INTERA ESSA E’ DISPARI."
Ora questo mi torna se A è intero ma come faccio a dimostrarlo?
Se per esempio ho l'eq:
(x-2)*(x^2+x+1)=0
x^3-x^2-x-2=0
Dal coefficiente di x^2 (-1) deduco che Xo+2A=1 e che Xo è dispari ma questo è sbagliato visto che Xo=2 no? (infatti in questo caso A=-1/2 è 2A non è pari!)
Sto sbagliando o no?
Vi prego aiutatemi!
P.S. Se questa dimostrazione fosse sbagliata come si potrebbe dimostrare questo teorema?
Ciao è la prima volta che posto su questo forum quindi scusatemi se commetterò qualche errore!
Cmq ho questo problema:
volevo cercare una dimostrazione del fatto che il 26 sia l'unico intero compreso tra un quadrato (25) e un cubo (27).
Ora io ho trovato su internet la seguente dimostrazione:
PROBLEMA DEL 26 ( FERMAT)
Luigi Annunziata
IL PROBLEMA DI TROVARE UN INTERO CHE STIA TRA UN CUBO E UN QUADRATO LO SI PU0 ‘ RISOLVERE ANCHE CON QUESTA EQUAZIONE :
X^3 –1 = ( X + K )^2 +1 CON K = 1,2,3….( INTERO POSITIVO)
DA CUI SI HA :
X^3 –X^2 –2*K*X – K^2 –2 = 0
VOGLIAMO CAPIRE QUALI VALORI PUO’ ASSUMERE LA RADICE Xo CON K INTERO POSITIVO E IN PARTICOLARE IN CHE MODO SI POSSONO AVERE SOLUZIONI INTERE.
DALLE FAMOSE RELAZIONI TRA I COEFFICIENTI E LE RADICI DI UN’EQUAZIONE POLINOMIALE ABBIAMO CHE :
X1 +X2 +X3 = +1 ( OPPOSTO DEL COEFFICIENTE DI X^2 )
X1*X2 + X1*X3 + X2*X3 = -2*K ( COEFFICIENTE DI X)
X1*X2*X3 = +K^2+2 ( OPPOSTO DEL COEFFICIENTE NOTO )
SAPPIAMO CHE UN’EQUAZIONE DI TERZO GRADO O AMMETTE UNA RADICE REALE E DUE COMPLESSE CONIUGATE , OPPURE TRE RADICI REALI.
PER COSTRUZIONE DEL PROBLEMA ESSA DOVRA’ AMMETTERE SOLO UNA RADICE REALE SE NO SI AVREBBE L’ASSURDO DI AVERE TRE SOLUZIONI REALI AD UN DETERMINATO PASSO K .
QUESTO COMUNQUE LO SI PUO’ VEDERE CHIARAMENTE CON LO STUDIO DEL DISCRIMINANTE DELL’EQUAZIONE DI TERZO GRADO :
D = (q^2)/4 + (p^3)/27 con q= -k^2 – (2/3)*k –56/27 e p = -2*k –1/3
si vede chiaramente che ( (-k^2 –(2/3)*k –56/27)^2 ) /4 +( ( -2*k –1/3 )^3)/27 e’ una
quantità maggiore di zero per k >0 .
LA NOSTRA EQUAZIONE RISULTA QUINDI CARDANICA ( AMMETTE UNA SOLA RADICE REALE).
INOLTRE DATO CHE IL COEFFICIENTE NOTO E’ NEGATIVO ALLORA LA RADICE REALE E’ POSITIVA .
E :
1) - DAL COEFFICIENTE DI X^2 (-1) SI DEDUCE CHE :
Xo + (A+iB) + (A-iB) = 1
DUNQUE Xo +2A = +1
ORA DATO CHE 2A E’ PARI ALLORA Xo E’ DISPARI
PRIMA CONCLUSIONE A CUI SIAMO PERVENUTI E’ CHE SE ESISTE LA RADICE INTERA ESSA E’ DISPARI.
2) - STUDIAMO IL COEFFICIENTE DI X (-2*K)
-2*K = Xo ( A+ib) + Xo(A-ib) + (A^2 + B^2)
-2*K = Xo*A + Xo*A + ( A^2 + B^2)
-2*K = 2*Xo*A + ( A^2 + B^2)
DA QUESTA RELAZIONE SI DEDUCE CHE ESSENDOO –2*K UN NUMERO PARI, 2*XoA ANCH’ESSO PARI , ( A^2 + B^2 ) DEVE ESSERE UN NUMERO PARI .
SECONDA CONCLUSIONE A CUI SIAMO PERVENUTI E’ CHE IL PRODOTTO
DELLE DUE RADICI COMPLESSE ( CHE SAPPPIAMO CHE E’ UN NUMERO
REALE ) SE E’ INTERO , DEVE ESSERE UN NUMERO PARI.
3) - STUDIAMO ADESSO IL COEFFICIENTE NOTO :
-K^2 –2 = Xo * ( A^2 + B^2 ) ( PRODOTTO DELLE TRE RADICI )
SAPPIAMO CHE Xo E’ UN INTERO DISPARI E ( A^2 +B^2) UN INTERO PARI ,
ALLORA ESSENDO IL PRODOTTO DI UN DISPARI PER UN PARI , UN NUMERO
PARI , CONSEGUE :
-K^2 –2 , PARI E QUINDI K^2 E’ PARI CIOE’ IN DEFINITIVA K E’ UN
NUMERO PARI.
ABBIAMO TROVATO DALLO STUDIO DELL’EQUAZIONE CHE :
1) LA RADICE Xo SE E’ INTERA ESSA E’ DISPARI POSITIVA
2) IL PRODOTTO DELLE DUE RADICI COMPLESSE CONIUGATE SE E’ INTERO ESSO E’ UN NUMERO PARI
3) K DEVE ESSERE PARI PER RADICI INTERE
UN’ALTRA CONSIDERAZIONE CI PORTA AD AFFERMARE CHE A E B DEVONO
ESSERE ENTRAMBI DISPARI ( OVVIAMENTE SE SONO ENTRAMBI INTERI)..
DA P^2 +2 = D*2*d POSSIAMO RICAVARE DIVIDENDO TUTTO PER DUE
ANCORA UN’EGUAGLIANZA
Pp +1 = D*d NON C’E’ NESSUNA CONTRADDIZIONE IN QUESTO
MA SE A E B FOSSERO PARI SI HA :
P^2 +2 = D*2*p E DIVIDENDO PER DUE NON OTTERREMMO PIU’
UN ‘ EGUAGLIANZA
Pp +1 = D*P UN DISPARI NON PUO’ ESSERE UGUALE AL PRODOTTO
DI UN DISPARI PER UN PARI
AL PRIMO MEMBRO Pp E’ ANCORA UN PARI DATO CHE UN NUMERO PARI
ELEVATO AL QUADRATO QUANDO LO SI DIVIDE PER DUE RESTA UN NUMERO
PARI .
COMUNQUE QUESTO ULTIMO DISCORSO NON E’ ESSENZIALE AI FINI DELLA DIMOSTRAZIONE FINALE.
ORA ABBIAMO CHE DAL COEFFICIENTE NOTO ( OPPOSTO) :
( K^2 +2) / Xo = ( A^2 +B^2 )
E ( K^2 +2 ) / ( A^2 +B^2 ) = Xo
CON Xo E (A^2 +B^2 ) O ENTRAMBI INTERI O ENTRAMBI IRRAZIONALI
CON Xo DISPARI MA DI QUESTA SPECIE : 3, 7, 11, 15 ,….
CIOE’ Xo = 3 + 4N CON N=0,1,2,3….
E IN QUESTO MODO SI PUO’ AVERE A = 1,3,5,… CIOE’ UN NUMERO DISPARI IL CUI DOPPIO E’ INFERIORE DI UN’UNITA’ ( VEDASI COEFFICIENTE DI X^2) RISPETTO AD Xo.( SOLO PER A NON SI NESSUN DUBBIO CHE ESSO E’ INTERO SE Xo E’ INTERO)
CIOE’ POTREBBERO ESSERE SOLUZIONI INTERE DELL’EQUAZIONE SOLO ED ESCLUSIVAMENTE COMBINAZIONI DI QUESTO TIPO :
3 CON 1 E 1 IL PRIMO NUMERO E’ Xo .
7 CON 3 E 3
ECC. ECC.
SE NOI OSSERVIAMO UN ‘ ATTIMO LA RADICE INTERA 3 CHE SCATURISCE CON
K=2 SI VEDE CHE A=1 ( IL CUI DOPPIO E’ INFERIORE DI UNO RISPETTO AD Xo ) .
E ADESSO NON CI RESTA DA STUDIARE CHE UNA DI QUESTE DUE :
1)- (K^2+2) / Xo = (A^2+B^2)
2)- (K^2+2) / ( A^2+B^2) = Xo
RELAZIONI CON QUANTITA’ BEN DEFINITE .
A MIO PARERE CREDO CHE SIA PIU’ SEMPLICE DA STUDIARE UNA DI QUESTE DUE RELAZIONI PIUTTOSTO CHE LA SEGUENTE : A^3 = B^2 +2
RIPRENDIAMO ALLORA LA SECONDA RELAZIONE : (K^2+2)/(A^2+B^2)=Xo
OSSIA : (K^2+2) = (A^2+B^2) * Xo
VEDIAMO CHE IL TERMINE NOTO (K^2+2) E’ IL PRODOTTO IN DEFINITIVA
DI UN NUMERO PARI (A^2+B^2) PER UN NUMERO DISPARI (Xo) .
PER K = 2 ABBIAMO CHE (A^2+B^2) = 2 E Xo = 3.
E PER K > 2 COLL’ESISTENZA DI UN’ALTRA RADICE INTERA Xo >3 SI DOVRA’
AVERE PER FORZA ANCHE UN ALTRO VALORE INTERO DI : (A^2+B^2) , VALORE CHE
DEVE ESSERE MAGGIORE DI DUE .
IL CHE E’ IMPOSSIBILE DATO CHE (K^2+2) PUO’ ESSERE SCISSO SOLO IN QUESTO
MODO : 2 * D ,
CIOE’ L’UNICO PARI CHE RISULTA DIVISORE DI ESSO E’ IL NUMERO DUE .
.
CIOE’ SE PROVIAMO A DIVIDERE PER DUE IL TERMINE NOTO ( COSA POSSIBILE
DATO CHE ESSO E’ UN INTERO PARI PER K PARI ), RISULTA QUESTO :
(K^2)/2 + 2/2 = Pp +1 ( Pp S’INTENDE UN ULTERIORE NUMERO PARI )
Pp +1 E’ EVIDENTEMENTE UN INTERO DISPARI .
ALLA FINE ABBIAMO CHE IL TERMINE NOTO PER K>2 RISULTA UN PRODOTTO DEL
NUMERO DUE PER UN NUMERO DISPARI ( PER NUMERO DISPARI S’INTENDE
ANCHE IL PRODOTTO DI PIU’ NUMERI DISPARI).
E DATO CHE PER K>2 , (A^2+B^2) DEVE ESSERE MAGGIORE DI DUE ( IN EFFETTI
RISULTA ANCHE MAGGIORE DI Xo, LO SI VEDE CHIARAMENTE DALLO STUDIO DEL
COEFFICIENTE DI X^2) , CONSEGUE CHE NON CI SONO RADICI INTERE PER K>=4
COME VOLEVASI DIMOSTRARE.
Ma a me non torna la seguente parte della dimostrazione:
1)DAL COEFFICIENTE DI X^2 (-1) SI DEDUCE CHE :
Xo + (A+iB) + (A-iB) = 1
DUNQUE Xo +2A = +1
ORA DATO CHE 2A E’ PARI ALLORA Xo E’ DISPARI
PRIMA CONCLUSIONE A CUI SIAMO PERVENUTI E’ CHE SE ESISTE LA RADICE INTERA ESSA E’ DISPARI."
Ora questo mi torna se A è intero ma come faccio a dimostrarlo?
Se per esempio ho l'eq:
(x-2)*(x^2+x+1)=0
x^3-x^2-x-2=0
Dal coefficiente di x^2 (-1) deduco che Xo+2A=1 e che Xo è dispari ma questo è sbagliato visto che Xo=2 no? (infatti in questo caso A=-1/2 è 2A non è pari!)
Sto sbagliando o no?
Vi prego aiutatemi!
P.S. Se questa dimostrazione fosse sbagliata come si potrebbe dimostrare questo teorema?
E piuttosto... Qualcuno fra voi altri illustri matematici sarebbe in grado di fornire una dimostrazione dettagliata che faccia impiego della teoria delle curve ellittiche? Gradiremmo molto, grazie...