Flessi

[stellacometa2003]

Ciao Ragazzi...
Mi servirebbe una mano per capire la differenza tra flesso a tangente orizzontale e obbliqua...
Una qualche animella buona mi può aiutare???

[EvaristeG]

Beh, un flesso è un punto che separa un tratto in cui la funzione è concava da un tratto in cui la funzione è convessa, ovvero un tratto in cui la derivata è decrescente da un tratto in cui la derivata è crescente.

Ad esempio : la funzione $ y=\sin(x) $ cambia continuamente da concava a convessa ogni volta che attraversa l'asse delle x (nulla di formale, solo guarda il grafico e vedrai gobbe e valli); infatti, per la funzione seno, i punti $ 0,\pi,-\pi,2\pi,-2\pi,\ldots $ sono tutti flessi.

Ora, proprio perchè il flesso separa un tratto in cui la derivata cresce da un tratto in cui la derivata decresce, esso è un massimo o un minimo della derivata.

E come si trovano i massimi e i minimi di una funzione? Si cercano gli zeri della sua derivata; quindi un flesso è uno zero della derivata della derivata, ovvero della derivata seconda.

Un flesso a tangente orizzontale è semplicemente un flesso in cui si annulla anche la derivata prima. Esso è particolarmente insidioso perchè lo si potrebbe scambiare per un massimo o un minimo ... per questo quando si studiano i massimi e i minimi è sempre bene calcolare anche il valore della derivata seconda nel punto : se è positiva è un minimo, se è negativa è un massimo, se è nulla POTREBBE essere un punto di flesso a tangente orizzontale. Per essere sicuri che sia proprio un flesso bisogna fare anche la derivata terza e controllare che lei non sia nulla, oppure, se la terza è nulla, controllare che sia nulla anche la derivata quarta ma che non lo sia la quinta ... insomma, la prima derivata non nulla deve essere una di ordine dispari.

Ad esempio :

$ f(x)=\sin(x) $ ha, nei multipli di pi greco, flessi a tangente obliqua (tangente +1 o -1)

$ f(x)=x^3 $ ha, nell'origine, un flesso a tangente orizzontale

$ f(x)=x^4 $ ha derivata prima e seconda nulle nell'origine, ma si annulla anche la 3° e non la quarta, quindi l'origine non è un flesso

$ f(x)=x^5 $ ha tutte le derivate nell'origine nulle fino alla 4° e poichè la prima non nulla è la 5° (e quindi è di ordine dispari), l'origine è un flesso.

Per vedere se hai capito :

Per quali n l'origine è un flesso per la funzione $ f(x)=x^n $ ?

Quali sono i flessi di $ f(x)=\cos(x) $ ? Ce ne sono a tangente orizzontale?

Quali sono i flessi di $ f(x)=2x^5+x^2+3x+1 $ ? A tangente orizzontale o obliqua?

L'origine è un flesso per $ f(x)=2x^6+x^2+4x+9 $ ?

[stellacometa2003]

E se invece di calcolarmi derivate su derivate mi limitassi sola ad arrivare alla derivata seconda e insieme ad essa calcolassi anche i limiti della funzione in quel punto??

[EvaristeG]

Scusa, ma i limiti della funzione nel punto centrano con la continuità
Se hai potuto fare anche solo la derivata prima, i limiti destro e sinistro della funzione nel punto coincidono entrambi con il valore della funzione nel punto ...

per farti un esempio :

$ f(x)=x^5 $ ha un flesso in 0
$ g(x)=x^6 $ ha invece un minimo in 0.

ma $ \lim_{x\to0}f(x)=\lim_{x\to0}g(x)=0 $ e $ f'(0)=g'(0)=0 $ e $ f''(0)=g''(0) $ quindi solo con limiti e derivate prime e seconde non puoi dire nulla sul fatto che il punto sia o meno un flesso.

Cuspidi e punti angolosi con i flessi non centrano niente ...

[stellacometa2003]

Quindi in pratica dovrei andare avanti a derivare finchè non ho una certezza...

[EvaristeG]

L'alternativa è studiare il segno della derivata seconda : un flesso separa un tratto concavo da uno convesso e dunque se il punto che hai trovato come zero della derivata seconda effettivamente separa un tratto in cui questa è negativa da un tratto in cui questa è positiva allora esso è un flesso. A volte però è più facile calcolarsi quattro o cinque derivate che studiare il segno di una funzione.

[stellacometa2003]

Grazie mille Evariste...mi sei stato di MOLTISSIMO aiuto!!!