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ciao

sia da calcolare $ $\lim_{x \rightarrow 0} (\cos x)^{\frac 1 {\sin x}}$ $

la funzione diventa $ $(\cos^2 x)^{\frac 1 {2\sin x}}=(1-\sin^2 x)^{\frac 1 {2\sin x}}=(1-\sin^2 x)^{\frac {\sin x}{2\sin^2 x}}$ $.

Se $ t=\sin^2 x $ quando x tende a 0 lo fa anche t

quindi e'

$ $\lim_{t \rightarrow 0}(1-t)^{\frac{\sqrt t}{2t}}=e^{-0/2}=1$ $

è giusto?

Sì, è corretto. In alternativa (espandendo il logaritmo con Taylor) $ \displaystyle\lim_{x \to 0} (\cos x)^{\frac{1}{\sin x}} = \exp\!\left(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(\cos x)}{\sin x}\right) = $ $ \displaystyle\exp\!\left(\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{\sin x}\right) = \exp(0) = 1 $. Molto mejo lo modo tuo, però!