OliForum Matematico

Siano x > 0 un numero reale ed n > 0 un intero. Mostrare che, là dove $ \displaystyle x^n + \frac{1}{x^n} $ ed $ \displaystyle x^{n+1} + \frac{1}{x^{n+1}} $ siano ambedue razionali, necessariamente $ \displaystyle x + \frac{1}{x} $ è anch'esso razionale.

Aggiunte due graffe per gli esponenti. EG

Dovrei riuscire a dimostrarlo ponendo le due ipotesi come ipotesi di induzione, tuttavia posso considerare:
$ x^n + \frac{1}{x^n} = \frac{x^{2n} +1 }{x^n} $

e
$ x^{n+1} + \frac{1}{x^{n+1}} = \frac{x^{2n+2} +1 }{x^{n+1}} $
divido entambi i mebri che sono razionali ottenendo ancora un razionale che è proprio
$ x + \frac{1}{x} $
giusto?

Sono rientrato soltanto oggi, quest'è l'unica ragione per cui non ho risposto prima! In ogni caso, evans, devo ammettere che non so proprio in che modo giudicarla, questa tua soluzione... Certo che con qualche dettaglio in più, magari...

Tipo? Avrei dovuto dire che la divisione nell'insieme dei razionali è interna?

Siccome ti credi spiritoso... Chi ha capito la soluzione di evans, gentilmente, alzi la mano!

P.S.: perché sia chiaro: io alzo la mano, ma questo ha poco conto...

Ehm... io ho capito... è grave?

Uhm, direi che potrebbe essere grave, in quanto (o forse sono io che non ho capito):

se si pone x=2, n=2, si ha

$ A=x^2+x^{-2}=17/4 $
$ B=x^3+x^{-3}=65/8 $
$ B/A=65/34 $
mentre $ x+x^{-1}=5/2 $

Sono io che non ho capito?

moebius ha scritto:Ehm... io ho capito... è grave?

Bene, vorrà dire che, all'occorrenza, ti sostituirai a evans, nelle spiegazioni, là dove il nostro non dovesse più farsi sentire... Sei contento, non è vero?

HiTLeuLeR ha scritto:Siccome ti credi spiritoso... Chi ha capito la soluzione di evans, gentilmente, alzi la mano!

P.S.: perché sia chiaro: io alzo la mano, ma questo ha poco conto...

Innanzi tutto non mi credo spiritoso(non so come interpreti le domande)!!!
In secondo luogo dubito che tu possa alzare la mano per il semplice fatto che tu non hai capito la soluzione (non credo sei in grado di smentirmi ).
A questo punto credo sia inutile chiarire alcune cose della questione(o meglio alcuni errori) correrei il rischio di non essere capito da te.

P.S.
mi scuso ovviamente con EvaristeG che ha capito tutto e lo ringrazio per essersi posto con umiltà a differenza del nostro HiTeuLeR.

Eh, l'umiltà... Che sconforto però vedere come la gente si contenti di guardare alla realtà attraverso i riflessi d'uno specchio. Ma d'altro canto... Diciamo pure che sei nel giusto. Anzi, meglio: ammettiamo pure che a me sia dato il torto, ad altri la ragione. Questo implica ch'io ho soprastimato i tuoi deliri: di ciò ti chiedo venia. Non mi ripeterò, prometto! A mia giustifica, sia detto tuttavia che ultimamente ho sviluppato un certo gusto per la poesia ermetica. Così - leggendoti - ho finito per pensare - e ancora mi sorprende! - che dietro il minimalismo sfrondato del tuo scrivere potesse in verità nascondersi un senso, una ragione, un significato recondito, qualcosa. Mi scuso perciò con te e col forum dell'increscioso malinteso: ti garantisco che non occorrerà mai più.

Mi scuso anche io con il forum. Dall'ultimo messaggio scritto credo che il discorso sia degenerato. Nonostante le parole basse rivolte nei miei confronti continuerò a stimare HiTLeuLeR ,non potrei fare altrimenti con una persona che ha a cuore la matematica (ti prego almeno di non vedere ironia in questo che per me è una cosa seria), e ritornerò nel mio cantuccio pieno come prima di ignoranza e mancanza di talento.

Lasciando cadere queste questioni sterili, evans, tu alludevi ad una soluzione con l'induzione ... beh, postala, visto che il problema è qui da un po' e nessuno l'ha ancora risolto.

Come monito generale a tutti i problem-solvers, attenti a dire "Ma sì, verrà facendo i conti". Se è vero e il conto è banale, la soluzione vi vien data buona, se è vero ma il conto non è proprio banale vi verrà tolto un punto o forse due (o più, se il conto era veramente poco banale); se è sbagliato, avrete perso l'occasione di guadagnare punti in un esercizio a causa di un po' troppa sicurezza e po' poca voglia di fare i conti.

HiTLeuLeR ha scritto:Siano x > 0 un numero reale ed n > 0 un intero. Mostrare che, là dove $ \displaystyle x^n + \frac{1}{x^n} $ ed $ \displaystyle x^{n+1} + \frac{1}{x^{n+1}} $ siano ambedue razionali, necessariamente $ \displaystyle x + \frac{1}{x} $ è anch'esso razionale.

Possiamo mostrare molto di piu':


Detto $y_m:=x^m+x^{-m}$ vale $y_{m+1}=y_1y_m-y_{m-1}$, per ogni $m \in \mathbb{N}$, da cui:

\[ \displaystyle y_m=\left(\frac{y_1}{2} + \sqrt{\frac{y_1^2}{4}-1}\right)^m+\left(\frac{y_1}{2} - \sqrt{\frac{y_1^2}{4}-1}\right)^m= 2\sum_{j=0}^{\lfloor \frac{m}{2}\rfloor}{\binom{m}{2j}\left(\frac{y_1}{2}\right)^{m-2j}\left(\frac{y_1^2}{4}-1\right)^{j}}=\]

\[\displaystyle =2\sum_{j=0}^{\lfloor \frac{m}{2}\rfloor}{\sum_{i=0}^j{(-1)^i\binom{m}{2j}\binom{j}{i}\left(\frac{y_1}{2}\right)^{m-2j}\left( \frac{y_1^{2(j-i)}}{2^{2(j-i)}} \right)}} = \sum_{j=0}^{\lfloor \frac{m}{2}\rfloor}{\sum_{i=0}^j{(-1)^i\binom{m}{2j}\binom{j}{i}\left( \frac{y_1^{m-2i}}{2^{2j-2i}} \right)}} \]

Definiamo il polinomio $p_m(x):= \displaystyle \left(\sum_{j=0}^{\lfloor \frac{m}{2}\rfloor}{\sum_{i=0}^j{(-1)^i\binom{m}{2j}\binom{j}{i} \left( \frac{x^{m-2i}}{2^{2j-2i}} \right) }} \right)-y_m$ per ogni $m\in \mathbb{N}_0$


Se esistono due interi positivi coprimi $a,b$ tali che $y_a,y_b \in \mathbb{Q}$ allora esisteranno due interi positivi $C_a,C_b$ tali che $C_ap_a(x) \in \mathbb{Z}[x], C_bp_b(x) \in \mathbb{Z}[x]$ e
\[ \displaystyle C_ap_a(y_1)=C_bp_b(y_1)=0 \]

In altre parole $y_1$ è un numero algebrico tale che il grado $\alpha$ del suo polinomio minimo (a coefficienti interi) divide sia $a$ che $b$, i.e. $\alpha \mid \text{gcd}(a,b)=1$.

Ma allora $y_1$ è radice di un polinomio lineare a coefficienti interi, per cui $y_1 \in \mathbb{Q}$. []