Seguendo l'esempio di Bollasso, spezzerò la soluzione in tre parti, onde soltanto migliorarne la leggibilità. Lavoreremo sui decimali, per cui non sarà necessario ogni volta specificare la base della rappresentazione adottata per gli interi.
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PARTE I: dichiarazione degli intenti.
Siano $ k = 2^r \cdot 5^s $ ed $ m = qk $, dove $ r, s, q \in \mathbb{N} $ e $ \gcd(10,q) = 1 $. Osserviamo innanzitutto che i) se esiste un intero $ n > 0 $ tale che $ n $ sia multiplo alternante (m.a. nel seguito) di $ k $ e se il numero $ v(n) $ delle cifre decimali di $ n $ è pari, allora $ \displaystyle n \cdot \frac{10^{v(n)\cdot\varphi(q)} - 1}{10^{v(n)} - 1} $ è m.a. di $ m $; ii) se $ k $ è divisibile per 20, allora non esiste alcun m.a. di $ m $, poiché $ qk $ termina per doppia cifra pari, qualunque sia $ q\in\mathbb{Z}^+ $; iii) se $ n $ è m.a. di $ 5^s $, allora $ 10n $ è m.a. di $ 2 \cdot 5^s $. Intendo di fatto dimostrare che $ m $ possiede un m.a. sse $ 20 \nmid m $. Alla luce delle osservazioni i-iii), in tal senso è sufficiente provare che, per ogni $ k > 0 $, esiste un m.a. $ n_k $ di $ 2^k $ (risp., di $ 5^k $) dotato di un numero pari (risp., dispari) di cifre decimali.
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PARTE II: les cinq sont plus faciles.
Fissato $ k \in \mathbb{Z}^+ $, siano $ a_0 + 10 a_1 + \ldots + 10^r a_r $ la rappresentazione decimale di $ u_{0,k} := 5^k $, dove $ r $ è un intero $ \ge 0 $, ed $ h \in \overline{0, r} $ il minimo indice tale che $ a_h \equiv a_{h+1} \bmod 2 $. Se $ h+1 > k $, si cancellano le cifre in eccesso (corrispondenti cioè a posizioni decimali di là della $ k $-esima), si fissa $ n_k $ all'intero risultante e ci si arresta. Se invece $ h+1 \le k $, moltiplicando $ u_{k,0} $ per $ 5^k \cdot 10^{h+1} $ si ottiene un intero $ u_{1,k} $ ancora divisibile per $ 5^k $ e le cui prime $ h+1 $ cifre si alternano fra pari e dispari, poiché la moltiplicazione indicata ha come effetto di lasciare invariata la parità delle prime $ h $ cifre di $ u_{0,k} $ e flippare viceversa la parità della cifra $ h+1 $-esima. Iterando più e più volte questa operazione, si viene così a definire una sequenza $ u_{0,k}, u_{1, k}, \ldots $ di interi positivi, tutti divisibili per $ 5^k $, in cui le prime $ k $ cifre decimali di ogni termine sono definitivamente (cioè a partire da un certo indice intero $ i>0 $) alternanti fra pari e dispari. Rimosse allora da $ u_{i,k} $ le cifre decimali in eccesso (vedi sopra), si pone $ n_k $ eguale all'intero risultante, ovvero a $ 10^k $ volte l'intero risultante quando sia $ k \equiv 0 \bmod 2 $. Pare chiaro che $ n_k $ è un m.a. di $ 5^k $ dotato di un numero dispari di cifre decimali.
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PARTE III: potenza della matematica binaria.
Sostanzialmente la stessa fuffa, solo più contosa! Posso risparmiarmela, vero? Ormai l'idea dovrebbe esservi sufficientemente chiara. Certo qui c'è da usare un'attenzione persino maggiore: se dovesse servire, ditelo pure, che posterò il resto della soluzione.
P.S.: non è escluso che vi possa essere qualche svista nel testo della soluzione. Del resto, è la prima volta che incontro un IMO problem tanto stupido e calcoloso, davvero uno spiacevole incontro! L'autore meriterebbe quantomeno d'essere impalato.
Ogni eventuale segnalazione in tal senso sarà, perciò, gradita più che mai.
