OliForum Matematico

Dimostrare che in un triangolo vale
$ \displaystyle{\frac{\pi}{3}\leq \frac{a\alpha+b\beta+c\gamma}{a+b+c}<\frac{\pi}{2}} $
e discutere l'uguaglianza.

La seconda parte della diseguaglianza e' relativamente facile.Basta
osservare che :
$ \displaystyle \frac{a}{2p}<\frac{1}{2} $ e simili,percui risulta:
$ \displaystyle \frac{a}{2p}\alpha +\frac{b}{2p}\beta+\frac{c}{2p}\gamma < \frac{\alpha+\beta+\gamma}{2}=\frac{\pi}{2} $
Provo a studiare anche la prima parte.
Leandro

Anche la prima parte e' abbastanza semplice se si ricorre alla ineguaglianza
di Tchebycheff.
Se e' $ \displaystyle a \geq b \geq c $ e' pure $ \displaystyle \alpha \geq \beta \geq \gamma $ e quindi per Tchebycheff risulta:
$ \displaystyle a \alpha +b \beta+c \gamma \geq \frac {(a+b+c)(\alpha+\beta+\gamma)}{3} $
da cui appunto:
$ \displaystyle \frac{\displaystyle a \alpha +b \beta+c \gamma }{a+b +c} \geq \frac{\alpha+\beta+\gamma}{3}=\frac{\pi}{3} $
L'eguaglianza si ha per a=b=c .
Buonanotte da Leandro.

Bene!

Ora, miglioriamo la stima dall'alto:

Supponendo $ \alpha\leq\beta\leq\gamma $, dimostrare che
$ \displaystyle{\frac{a\alpha+b\beta+c\gamma}{a+b+c}\leq\frac{\pi-\alpha}{2}} $

Per l'ipotesi fatta si ha :
$ \displaystyle 3 \alpha \leq \pi $ da cui di seguito : $ \displaystyle - \alpha \geq - \frac{ \pi}{3}\rightarrow $ $ \displaystyle\pi-\alpha \geq \frac{2 \pi}{3} \rightarrow $ $ \displaystyle \frac{\pi-\alpha}{2} \geq \frac{\pi}{3} \geq \frac{a \alpha+b \beta+c \gamma}{a+b+c} $
Edit.
Ho fatto un casino del cavolo!!.Lo devo studiare meglio:mi scuso.
Leandro

C'è qualcosa che non mi torna ... 60° è il minimo dell'espressione ... non il massimo

Tento di rimediare e procedo per forza bruta:
$ \displaystyle \frac{a \alpha+b \beta+c \gamma}{a+b+c} \leq \frac{\beta+\gamma}{2} $
da cui:
$ \dispalystyle 2a \alpha+2b \beta+2c \gamma \leq (a+b+c)(\beta+\gamma)=a\beta+a\gamma+b\beta+b\gamma+c\beta+c\gamma $
Oppure:
$ \dispalystyle a(2\alpha-\beta-\gamma) \leq (b-c)(\gamma-\beta) $
E cambiando segno:
$ \dispalystyle a(\beta+\gamma-2\alpha) \geq (c-b)(\gamma-\beta) $
e questa relazione e' vera poiche' e' certamente $ \dispalystyle a>c-b \geq 0 $ mentre risulta $ \displaystyle \beta+\gamma -2\alpha\geq \gamma-\beta \geq 0 $
in quanto equivalente a $ \displsystyle \beta \geq \alpha $
Leandro

Ultimo rilancio : altro bound dall'alto, di diversa natura.

$ \displaystyle{\frac{a\alpha+b\beta+c\gamma}{a+b+c}\leq\frac{\pi}{2}\left(1-\tan\frac{\alpha}{2}\tan\frac{\beta}{2}\right)} $

sempre con l'ordinamento tra gli angoli dato nel post precedente.