OliForum Matematico

UN LUOGO “COMUNE”
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<BR>Determinare il luogo dei punti che vedono un segmento sotto un angolo α calcolarne la lunghezza notare le sue simmetrie e dimostrare che esso aumenta al diminuire dell’ angolo.
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<BR>Cassano di Gaeta2000
<BR>provare una dimostrazione geometrica

Si sa, mi pare, che corde uguali sono sottese da angoli alla circonferenza uguali, perciò è facile vedere che il luogo sono due archi di circonferenza uguali, uno sopra e uno sotto al segmento. La corda è lunga 2r*sin alfa, quindi r=s/2sin alfa, dove s è la lunghezza del segmento. L\'arco sarà lungo r*pi/alfa, quindi la lunghezza della curva è s*pi/(alfa*sin alfa), che ovviamente cresce al diminuire di alfa.[addsig]

Dimostrazione perfetta ma come dimostri geometricamente che il luogo aumenta al diminuire dell’ angolo?

Consideriamo un angolo beta < alfa. Prendiamo A sopra a PQ tale che < PAQ=alfa e PA=QA, e B sopra a PQ tale che < PBQ=beta e BQ=PB. Allora PQB contiene PQA. c(PQA) e c(PQB) s\'intersecano in P e Q, quindi non altrove, quindi uno dei due archi per PQ sopra a PQ è contenuto nell\'altro: se fosse quello per A si avrebbe che quello per B deve passare più in basso di quello per A quando taglia AB, ma questo è impossibile perché B è più in alto di A. Quindi l\'arco PBQ contiene l\'arco PAQ ed è pertanto più lungo. Lo stesso di sotto.
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<BR>[addsig]<BR><BR><font size=1>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: DD il 2002-06-26 20:14 ]</font>

può darsi che mi sbagli ma non credo esista un teorema che dica che se un luogo è contenuo in un altro aalora è più piccolo, io ho trovato una dimostrazione, provateci, è stimolante.