OliForum Matematico

FORSE BANALE
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<BR>Dimostrare alcuni problemi banali sfruttando meno nozioni possibili può essere talvolta divertente. Per questo vi chiedo di dimostrare il seguente banale problema in varie maniere (io l’ ho risolto in quattro maniere), così forse vi capiterà di imbattervi in alcune dimostrazioni molto stimolanti:
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<BR>La somma dei primi n cubi meno ( o più ) i primi n quadrati è sempre pari.
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<BR>Cassano di Gaeta2000
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E\' una somma di tanti numeri della forma a*a*(a+-1), che sono tutti pari perché contengono il prodotto di due numeri consecutivi (questa non mi stimola granché)

E\' una somma di tanti numeri della forma a*a*(a+-1), che sono tutti pari perché contengono il prodotto di due numeri consecutivi (questa non mi stimola granché)[addsig]

Questa effettivamente è la più banale, altre proposte?

Sia a=n o a=n-1, con a pari; una potenza di un pari è pari, di un dispari è dispari(è anche un applicazione del piccolo teorema di Fermat);
<BR>i^k==i(mod 2);
<BR>la somma delle prime a potenze k-esime è == alla somma delle potenze numeri dispari tra esse compresi(mod 2), cioè alla somma dei primi a/2 numeri dispari; sommando le prime a potenze k1-esime (k1=2)con le prime a potenze k2-esime(k2=3) si ottiene S == 2(1+3 +5 +7 +...+a-1)==0 che è pari; se n è dispari, aggiungo n^k1+n^k2==n+n==2n e ottengo un numero pari(proprio banale non è, ma è generale; k1 e k2 possono essere qualunque).

questo è già più carino, ma ci sono soluzioni più divertenti

ciao!!!
<BR>a)Io l\'ho risolto prima accoppiando ogni quadrato col rispettivo cubo: si ottenevano cosi\' somme (algebriche) tutte di numeri della stessa perita\' e quindi pari...(questa e\' una sfumatura diversa della soluzione di DD)
<BR>b)uso la formula della somma dei primi n quadrati e quella dei primi n cubi e ottengo quello che voglio ottenere
<BR>c)fra i primi (2n+0.5+0.5k) (k=+-1) naturali ce ne sono n pari: togliamo i loro quadrati e cubi dalla somma per ottenere un numero con la stessa parita\' di quello iniziale. Avremo ora la somma di
<BR>m=n+0.5+0.5k (k=+-1)
<BR>quadrati e m cubi: un numero pari di dispari da\' come somma un pari; un numero di dispari sottratto dello stesso numero di dispari da\' come risultato un pari.
<BR>Cmq non mi sembra di aver trovato chissacche\'... quindi abbandono tutto...
<BR>Ciao
<BR>Mircea
<BR>[addsig]

otimo ma c\'è di meglio

MUAHAHHAHHAHAHAH
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<BR>sto provando cose assurde tipo successioni e Serie
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<BR>prima o poi le posto
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