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|x_1 + x_2| <= |x_1 | + |x_2|



dim:

sappiamo che per ogni x: -|x|=<x<= |x|


quindi:

-|x_1|=<x_1<= |x_1|

-|x_2|=<x_2<= |x_2|

per x_1, x_2 app.ti a R

Sommando membro a membro:

- (|x_1| + |x_2| ) =< (x_1 + x_2) <= |x_1| + |x_2|

Posto : |x_1| + |x_2| =b


-b =< (x_1 + x_2) <=b ===> |x_1 + x_2| <=b e quindi

|x_1 + x_2|<= b= |x_1|+ |x_2|



P.S: esiste una dimostrazione piu' bella di questa?

Difficile dire quale sia migliore...comunque avendo a che fare con positivi (essendo il valore assoluto $ \geq 0 $ elevando tutto al quadrato si arriva a $ x_1x_2 $ e $ \mid x_1x_2\mid $ e $ x_1x_2:=v $, da cui $ v\leq \mid v \mid $, vero

Una bella e figa... prendi i due numeri complessi a,b e prendi (a+b). Chiamiamo il punto A il numero complesso a e B il numero complesso a+b e indichiamo con O il centro del piano di gauss. Sapendo che $ |a| $ è la distanza di a dall'origine ne risulta per la disuguaglianza triangolare (geometrica) che:
$ OA+AB \geq OB $ e, sapendo che $ AB=|b| $ allora sappiamo che:
$ |a|+|b| \geq |a+b| $ per ogni numero complesso, quindi anche per i numeri reali.

Altrimenti prendiamo $ |a|+|b|\geq |a+b| $ (dove a,b, sono reali) e eleviamo al quadrato. Otteniamo:

$ a^2+2|a||b|+b^2 \geq a^2+2ab+b^2 $ cioè
$ |a||b|\geq ab $ che è palesemente vera

Soluzioni geometriche, mi dimentico sempre quanto siano utili...quindi...
La soluzione più immediata, credo: vettori a $ \frac{\pi}{2} $ ,la somma è data dai versi o angoli visti in senso antiorario/orario
Poi...studiare Jensen e la concavità di $ f(x)=|x| $

HumanTorch ha scritto:Difficile dire quale sia migliore...

le dimostrazioni piu' semplici sono migliori? quindi tra la mia e quella postata da simothewolf è meglio la mia? in base a cosa si dice che una dimostrazione è migliore di un'altra?