OliForum Matematico

Ultimo rilancio : altro bound dall'alto, di diversa natura.

$ \displaystyle{\frac{a\alpha+b\beta+c\gamma}{a+b+c}\leq\frac{\pi}{2}\left(1-\tan\frac{\alpha}{2}\tan\frac{\beta}{2}\right)} $

sempre con $ \alpha\le\beta\le\gamma $ angoli di un triangolo, a,b,c i suoi lati.

Vediamo se così qualcuno la fa ...

Per le formule di Briggs,
$\displaystyle 1-\tan\frac{\alpha}{2}\tan\frac{\beta}{2}=1-\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{p(p-a)}\cdot\frac{(p-a)(p-c)}{p(p-b)}}=\frac{c}{p}=\frac{2c}{a+b+c}$
La nostra disuguaglianza diventa:
$\displaystyle a\alpha+b\beta+c\gamma\le\pi c=(\alpha+\beta+\gamma)c$
Pertanto,
$\displaystyle (a-c)\alpha+(b-c)\beta\le 0$
L'ultima disuguaglianza è chiaramente vera poichè $a\le b\le c$. Si ha l'uguaglianza in un triangolo equilatero.