OliForum Matematico

Ciao
se a qualcuno puó interessare vi posto gli esercizi della fase nazionale danese....
chiedo illuminazioni su cosa puó voler dire il 5 b) perché non sono riuscito a capirlo....

http://www.georgmohr.dk/gmopg/gmopg2006.pdf

Nr.1
La stella in figura é simmetrica rispetto a ognuna delle 6 diagonali disegnate. Tutti i congiungimenti dai punti A1,A2....A6 al centro della stella hanno lunghezza 1, e gli angoli segnati in B1,B2....B6 sono retti.
Calcola l'area della stella.
(vedi link per la figura)

Nr.2
Trova tutte le terne di numeri reali (x,y,z) tali che
x+y=2
xy-z^2=1

Nr.3
un numero naturale n, al massimo (minore o uguale a) 500, gode della proprietá che, preso a caso un numero m fra i numeri 1,2,3....499,500, c'é una probabilitá di 1/100 che m sia divisore di n.
Determina il maggior valore possibile per n.

Nr.4
Si scelgano 10 numeri differenti fra i numeri 1,2,3...2005,2006.
Dimostra che si possono scegliere 10 numeri la cui somma sia maggiore di 10039 in piú modi rispetto a quelli in cui possono essere scelti 10 numeri con somma minore 10030.

Nr.5
Consideriamo un triangolo acuntangolo ABC. L'altezza relativa a A é AD, l'altezza da D nel triangolo ABD é DE, l'altezza da D nel triangolo ACD é DF.
a) Dimostra che ABC e AFE sono simili.
b) Dimostra che il segmento EF e i rispettivi segmenti partenti dai vertici B e C hanno la stessa lunghezza.

É stato divertente tentare di dare spiegazioni in danese/inglese...
Non riesco a interpretare l'ultimo forse per colpa del testo...Ho chiesto di avere un testo in inglese...

È il numero 2
Stimo un 1% di averla azzeccata perchè se le loro nazionali sono così facili possono suicidarsi

x=2-y
(2-y)y-z²=1

Dalla seconda:

2y-y²-z²=1
y²-2y+1=-z²
(y-1)²=-z²

Da cui ricavo la sola terna x=1 y=1 z=0


Numero 3

Ok, ripartiamo senza scordare l'1 per strada come ho fatto prima e senza perdere mezz'ora per calcoli inutili. I numeri da 1 a 500 sono 500. Affinchè ci sia l'1% di possibilità di azzeccare a caso un divisore, i divisori devono essere 5. La sua scomposizione in fattori primi può essere solo del tipo a^4 (i cinque divisori saranno 1, a, a², a³, a^4). Il numero è 81 perchè per tutti gli a primi maggiori di tre a^4 supera il 500.



Ok, per questo stimo lo 0,5%


Numero 4.
La media dei numeri da 1 a 2006 è 1003,5. Prese tutte le combinazioni di 10 numeri, la media è 10035. 10039 è più vicino di 10030 a 10035, pertanto per ragioni che per mancanza di teoria decente definirei di simmetria (ad ogni gruppo di dieci numeri con somma 10035+x corrispondono altrettanti gruppi con somma 10035-x, ed il numero di questi gruppi aumenta avvicinandosi al 10035) abbiamo che i gruppi che danno 10039 come risultato sono di più.


Il numero uno mi viene 3/2 * (sqrt(3)-1), ma rifare la stella a mano per la dimostrazione non ce n'ho voglia e la stampante non ce l'ho al momento...

Mi dispiace deluderti ma le soluzioni sono giuste......
Io ho risolto i primi 3 + metá 4 e metá 5.....
Confrontando con i risultati degli anni scorsi potrei avere un punteggio da top 5.....(per un confronto in italia non sono andato al di lá di un bronzo a cesenatico 2004 + finale parigi bocconi 2005...).
Il ivello quindi é abbastanza scarso...Consideriamo anche che sono 5 milioni e non 50 come in italia....Hanno preso 4 bronzi IMO in Mexico...

Il 4 l'ho spiegato piú o meno come te.....(si.......a occhio é cosí.........e non potendolo scrivere in italiano quasi non convincevo me stesso....)
Il 5, saó io mooooolto addormentato, ma non mi torna il disegno per quanto riguarda il b)

zork ha scritto:Mi dispiace deluderti ma le soluzioni sono giuste......
Io ho risolto i primi 3 + metá 4 e metá 5.....
Confrontando con i risultati degli anni scorsi potrei avere un punteggio da top 5.....(per un confronto in italia non sono andato al di lá di un bronzo a cesenatico 2004 + finale parigi bocconi 2005...).
Il ivello quindi é abbastanza scarso...Consideriamo anche che sono 5.000.000 e non 50 come in italia....Hanno preso 4 bronzi IMO in Mexico...

Il 4 l'ho spiegato piú o meno come te.....(si.......a occhio é cosí.........e non potendolo scrivere in italiano quasi non convincevo me stesso....)
Il 5, saó io mooooolto addormentato, ma non mi torna il disegno per quanto riguarda il b)

Aaron, ma sei finito in Danimarca?
Spero tu sappia chi sono!

Pensavo più forti i danesi, non so perchè..

P.s. Comunque, W i guns n'roses , spero tu abbia ancora il porta cd rosa

si, sono in danimarca quest'anno.....
niente sfida a belluno.....
ma abbiamo ancora il prossimo anno



il mio portacd é famoso in tutto il mondo ormai!!!

zork ha scritto:si, sono in danimarca quest'anno.....
niente sfida a belluno.....
ma abbiamo ancora il prossimo anno



il mio portacd é famoso in tutto il mondo ormai!!!

Già, niente sfida :p

Divertiti allora Al'anno prossimo!