Allora innanzitutto un piccolo lemma che potrebbe servire. (Richiamo la circonferenza inscritta $\gamma$)
Lemma dei concorrenti: La retta $EF$, la tangente in $P$ a $\gamma$ e $BC$ concorrono in $G$.
Sappiamo che la tangente in $P$ a $\gamma$ è la polare di $P$ rispetto a $\gamma$. E' anche evidente che $EF$ è
la polare di $A$ e $BC$ è la polare di $D$. Siccome i tre poli delle rette, ovvero $A$, $P$ e $D$ sono allineati, allora
le tre rette del lemma concorrono.
Lemma dell'armonia: Il birapporto $(B,C;D,G)$ vale -1.
Questo è vero per il teorema del quadrilatero completo applicato a $BFEC$ (infatti lo posso applicare perché $AD$, $BE$ e $CF$ sono concorrenti nel punto di Gergonne)
Ora chiamo $X$ e $Y$ le intersezioni fra $PB$ e $PC$ rispettivamente con $\gamma$. Si ha $\angle XDY=\dfrac{\pi}{2}$, perché è il supplementare di $\angle{XPY}$ che è $\dfrac{\pi}{2}$ per ipotesi.
Considero il birapporto fra le rette $(DP,DD;DY,DX)$ sulla circonferenza $\gamma$. Siccome il birapporto dipende solo dagli angoli formati dalle retta, posso scambiare $D$ con qualunque punto sulla circonferenza.
Posso scrivere che $(PP,PD;PY,PX)=(DP,DD;DY,DX)$. Ma $(PP,PD;PY,PX)=(G,D;B,C)=\dfrac{1}{(B,C;D,G)}=-1$.
Quindi $(DP,DD;DY,DX)=-1$. Da ciò posso dedurre che, detta V l'intersezione di $DX$ con $CP$ vale $(P,C;Y,V)=-1$
Lemma degli ortogonali: Considero un triangolo $ABC$ ed un punto $D$ interno a $BC$. Allora sia $E$ l'intersezione fra $BC$ e la perpendicolare ad $AD$ condotta per $A$. Allora $(B,C;D,E)$ vale -1 se e solo se $AD$ è bisettrice interna di $\angle BAC$.
Questo lemma è interessante quindi ve lo lascio come bonus!
Quindi, valendo $(P,C;Y,V)=-1$ e che $DY \perp DV$, allora $DY$ è bisettrice di $\angle{PDC}$. Perciò $Y$ è punto medio
dell'arco $PD$ (e analogamente anche $X$).
E la prima parte del problema è andata. Ora dobbiamo mostrare che $AF = \dfrac{AD}{2}$. Ma siccome $AF^2 = AP\cdot AD$, bisogna mostrare che $AP=\dfrac{AD}{4}$. Quindi basta mostrare $AP=\dfrac{AF}{2}$.
Questo, per il teorema dei seni vale se e solo se $\dfrac{\sin\angle FPA}{\sin\angle AFP}=2$. Ma $\dfrac{\sin\angle FPA}{\sin\angle AFP}=\dfrac{\sin\angle FPD}{\sin\angle FDP}=\dfrac{FD}{FP}=2$.
Quindi abbiamo ricondotto tutto a mostrare $FD=2FP$. Chiamiamo $M$ il punto medio di $FD$. Sappiamo che, per il lemma della simmediana, $PB$ è la simmediana condotta da $P$ nel triangolo $FPD$. Dunque $\angle FPM = \angle BPD$. Questo mostra che $FMP$ e $XPD$ sono simili, dunque $FMP$ è isoscele. Quindi $FM=MD=FP$ e quindi $FD=2FP$. E per le equivalenze precedenti questo mostra tutto.
Altro fatto: XY passa per G.
P.s. Mi scuso in anticipo per eventuali lettere invertite nei birapporti, se notate qualche errore correggette
Ah, se avete altri fatti interessanti scrivete pure.
